При президентові україни



Сторінка5/6
Дата конвертації17.11.2018
Розмір0.72 Mb.
ТипПротокол
1   2   3   4   5   6

Оскільки розраховане значення t-статистики більше критичногоµ §, то коефіцієнт кореляції можна вважати значимим на обраному рівні µ §=0,01.

Висновок. Між річним об'ємом виробництва та основними фондами на підприємствах, що досліджувалися, існує сильний додатній зв’язок. Висновок дійсний для всіх підприємств такого типу.
3.4. Коефіцієнт кореляції Спірмена
Для оцінки сили зв’язку між Х та Y у випадку, коли між Х та Y існує нелінійний зв’язок або вибіркові дані не розподілені за нормальним законом, слугує коефіцієнт кореляції Спірмена.

Коефіцієнт кореляції Спірмена розраховується за формулою:

µ §, (3.5)

де п ЁC кількість пар вибіркових даних;

µ § ЁC різність між рангами і-го значення Х та відповідного значення Y;

µ § ЁC поправки, що пов’язані з однаковими рангами; розраховуються за формулами:

µ §; µ §, (3.6)

де µ § ЁC кількість зв’язок (груп однакових рангів);

µ § ЁC розміри і-тих зв’язок (кількість елементів в них).

Зауваження 1. Ранги присвоюються вибірковим даним звичайним способом (див. п. 2.3.4).

Зауваження 2. Статистична значущість коефіцієнта кореляції Спірмена перевіряється так, як й коефіцієнта кореляції Пірсона.
ПРИКЛАД 3.3. Вивчається залежність між продуктивністю праці робітників Х (тис. грн.) та їх емоційним відношенням до своєї професійної діяльності Y (бали). Відповідні дані подано у таблиці 3.8. Оцінити силу зв’язку між досліджуваними факторами за коефіцієнтом кореляції Спірмена. Перевірити його статистичну значущість.

Таблиця 3.8

Х523732265331363254644735342836Y1612541761571320101010519Розв’язок. Дані таблиці 3.8 є вибірковими парами значень µ §, µ §; п ЁC кількість пар, п=15. Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена, необхідні розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.9), використовуючи позначення: µ § ЁC ранг хі, µ § ЁC ранг уі.

Таблиця 3.9

хі523732265331363254644735342836yі1612541761571320101010519µ §12104,511338,54,51415117628,5µ §1292,5113411510157772,514µ §і0-1-20012,50,5-40-4010,55,5µ §і20140016,250,2516016010,2530,25Пояснимо, як заповнюється рядок 3: знаходимо найменше зі значень хі (це 26) та присвоюємо йому ранг 1; знаходимо наступне найменше (це 28) і присвоюємо йому ранг 2; наступним найменшим є 31, йому присвоюємо ранг 3; наступними найменшими є два значення 32, якщо б вони були різними, то їм би присвоїли ранги 4 і 5, але оскільки вони однакові, то присвоюємо їм середній ранг µ §; і т.д.

Знаходимо суму квадратів різностей рангів: µ §=1+4+1+6,25+ +0,25+16+16+1+0,25+30,25=76.

Знаходимо поправки, що пов’язані з однаковими рангами. В ряду рангів µ § є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій теж два. Отже, µ §, µ §.

В ряду рангів µ § є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій три елемента. Отже, µ §, µ §.

Підставимо отримані дані в формули (3.6) і знайдемо поправки:

µ §;


µ §.

Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена за формулою (3.6):

µ §.

За значенням коефіцієнта кореляції можна зробити висновок, що між Х та Y існує сильний додатній зв’язок.



Перевіримо статистичну значущість знайденого коефіцієнта кореляції. Розрахуємо t-статистику за формулою (3.4): µ §. Знайдемо tкрит, враховуючи, що l=п-2=15-2=13. Оберемо рівень значущості µ §=0,001. Тоді tкрит=СТЬЮДРАСПОБР (0,001; 13)=4,22.

Оскільки розраховане значення t-статистики більше критичногоµ §, то коефіцієнт кореляції можна вважати значимим на обраному рівні µ §=0,001.

Висновок. Між продуктивністю праці та емоційним відношенням працівника до професійної діяльності існує сильний додатній зв’язок. Висновок дійсний для всієї генеральної сукупності, з якої було зроблено вибірку.
3.5. Множинний та частинний коефіцієнти кореляції
У випадку, коли досліджуваний об’єкт або явище характеризується більш ніж двома ознаками Х1, Х2, ЎK , Хk, необхідно вивчати множинні залежності. Для оцінки сили зв’язку між певною ознакою Хі та усіма іншими ознаками слугує множинний коефіцієнт кореляції, який позначається µ §.

Для розрахунку множинного коефіцієнта кореляції необхідно:

Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції µ § між ознаками µ § та µ §:

µ §. (3.7)

Знайти визначник µ § матриці А та алгебраїчне доповнення µ § елемента µ § цієї матриці.

Розрахувати множинний коефіцієнт кореляції за формулою:

µ §. (3.8)

Перевірка статистичної значущості множинного коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-статистики, яка розраховується за формулою:

µ § (3.9)

де п ЁC кількість взаємопов’язаних значень ознак µ §.

Розраховане значення t-статистики порівнюється з критичним значенням Fкрит. Fкрит ЁC табличне значення розподілу Фішера, яке також можна знайти за допомогою вбудованої статистичної функції Excel FРАСПОБР (µ §; l1; l2), де µ § ЁC обраний дослідником рівень значущості, l1; l2 ЁC ступені волі, l1 =kЁC1; l2 =пЁCk.

Якщо розраховане значення t-статистики більше критичногоµ §, то множинний коефіцієнт кореляції вважається значимим на обраному рівні значущості µ §.

У випадку, коли необхідно дослідити кореляційний зв’язок між ознаками Хі та µ §, µ §, µ §, із множини ознак Х1, Х2, ЎK , Хk досліджуваного об’єкту або явища, вільний від впливу всіх інших ознак, розраховується частинний коефіцієнт кореляції, який позначається µ §.

Для розрахунку частинного коефіцієнта кореляції необхідно:

Побудувати матрицю парних коефіцієнтів кореляції А.

Знайти алгебраїчні доповнення µ § елементів µ § відповідно.

Розрахувати частинний коефіцієнт кореляції за формулою:

µ §. (3.9)

Перевірка статистичної значущості частинного коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-статистики, яка розраховується за формулою:

µ §, (3.10)

де п ЁC кількість взаємопов’язаних значень ознак µ §.

Розраховане значення t-статистики порівнюється з критичним значенням tкрит. tкрит ЁC табличне значення розподілу Стьюдента, яке також можна знайти за допомогою вбудованої статистичної функції Excel СТЬЮДРАСПОБР (µ §; l), де µ § ЁC обраний дослідником рівень значущості, l ЁC ступені волі, l=пЁCk+2.

Якщо розраховане значення t-статистики більше критичногоµ §, то частинний коефіцієнт кореляції вважається значимим на обраному рівні значущості µ §.

Зауваження. 1. Вважається, що для коректного використання множинного і частинного коефіцієнтів кореляції необхідно, щоб вибіркові дані мали сумісний нормальний розподіл, однак перевірка цієї умови на практиці зазвичай не виконується, оскільки пов’язана зі значними труднощами у розрахунках.

2. Замість парного коефіцієнта кореляції Пірсона можна використовувати також парний коефіцієнт кореляції Спірмена.

3. Кореляційна матриця завжди симетрична відносно головної діагоналі, оскільки µ §. Елементи головної діагоналі завжди дорівнюють 1, оскільки вони є коефіцієнтами кореляції µ § та µ §.


ПРИКЛАД 3.4. Для вивчення залежності урожайності зернових культур Z (ц/га) від якості пашні Х (бали) і кількості внесеного добриву Y (кг/га) було проведено дослідження 6 фермерських хазяйств, результати якого надано у таблиці 3.10. Визначити силу зв’язку між Z та Х та Y, використовуючи множинний коефіцієнт кореляції. Порівняти силу зв’язку між Z та Х і між Z та Y за частинними коефіцієнтами кореляції.

Таблиця 3.10

Х263536404145Y2,12,32,42,62,93Z182122,125,32828,5Розв’язок. За умов задачі необхідно для об’єкту, що характеризується трьома ознаками Х, Y та Z (k=3), розрахувати множинний коефіцієнт кореляції µ § і частинні коефіцієнти кореляції µ § та µ § на основі 6 взаємопов’язаних тройок вибіркових даних µ §.

Побудуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції, які обчислимо за формулою (3.3). Розрахунки для зручності оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.11).

Таблиця 3.11

Розрахункова таблицяСумихі263536404145223yі2,12,32,42,62,9315,3zі182122,125,32828,5142,9µ §676122512961600168120258503µ §4,415,295,766,768,41939,63µ §324441488,41640,09784812,253489,75хі yі54,680,586,4104118,9135579,4хі zі468735795,6101211481282,55441,1yі zі37,848,353,0465,7881,285,5371Отже, за формулою (3.3) маємо:

µ §µ §µ §Таким чином, кореляційна матриця має вигляд:

µ §.


Знайдемо визначник µ § матриці А та алгебраїчне доповнення µ §:

µ §


µ §

тоді µ §. Значення множинного коефіцієнта кореляції µ § показує, що величина Z сильно пов’язана з X та Y.

Перевіримо статистичну значущість множинного коефіцієнта кореляції µ §. Знайдемо t-статистику за формулою (3.9):

µ §.


Знайдемо Fкрит, враховуючи, що l1 =kЁC1=3-1=2; l2 =пЁCk=6-3=3. Оберемо рівень значущості µ §=0,01. Тоді Fкрит=FРАСПОБР (0,01; 2; 3)=30,82. Оскільки t> Fкрит, то множинний коефіцієнт кореляції µ § є статистично значимим на рівні значущості µ §=0,01.

Для обчислення частинних коефіцієнтів кореляції µ § та µ § знайдемо алгебраїчні доповнення:

µ §

µ §


µ §

µ §


Тоді за формулою (3.10) маємо:

µ §; µ §. Значення частинних коефіцієнтів кореляції показують, що величина Z пов’язана з величиною Y сильніше, ніж з величиною X.

Перевіримо статистичну значущість частинного коефіцієнта кореляції µ §. Знайдемо t-статистику за формулою (3.10):

µ §.


Знайдемо критичне значення tкрит, враховуючи, що l=пЁCk+2=6-3+2=5. Оберемо рівень значущості µ §=0,01. Тоді tкрит=СТЬЮДРАСПОБР(0,01;5)=4,032. Оскільки розраховане значення t-статистики менше критичногоµ §, то частинний коефіцієнт кореляції µ § не є значимим на рівні значущості µ §=0,01.

Перевіримо статистичну значущість частинного коефіцієнта кореляції µ §. Знайдемо t-статистику:

µ §.

Оскільки розраховане значення t-статистики більше критичного µ §, то частинний коефіцієнт кореляції µ § є значимим на рівні значущості µ §=0,01.



Висновок: Урожайність зернових культур сильно пов’язана з якістю пашні і кількістю внесеного добриву. При цьому урожайність значно сильніше залежіть від кількості добриву, чим від якості пашні. Сила зв’язку між урожайністю та якістю пашні середня та не є статистично значимою.
3.6. Кореляційний аналіз із використанням Microsoft Excel
Вбудовані сервісні функції Microsoft Excel дозволяють розраховувати парні коефіцієнти кореляції Пірсона. Для отримання матриці парних коефіцієнтів кореляції необхідно:

Обрати Сервис ЁC Анализ данных.

У діалоговому вікні для вибору інструменту аналізу обрати інструмент Корреляция. З’явиться вікно для надання параметрів (рис. 3.2).

Задати параметри для розрахунку коефіцієнтів кореляції. У графі Входной интервал вказати масив даних; у графі Группирование вказати тип групування, наприклад, По столбцам, у графі Выходной интервал вказати ту клітину, починаючи з якої будуть надаватися вихідні дані ЁC парні коефіцієнти кореляції. Натиснути ОК.

Рис. 3.2. Вікно надання параметрів кореляційного аналізу

Приклад і результати розрахунків парних коефіцієнтів кореляції надано на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Результати розрахунку коефіцієнтів кореляції

Зауваження. 1) В результаті роботи інструменту аналізу даних Корреляция розраховується матриця парних коефіцієнтів кореляції Пірсона навіть у випадку встановлення зв’язку між двома величинами.

2) Клітини матриці, що розташовані вище головної діагоналі звичайно надаються незаповненими, оскільки матриця симетрична відносно головної діагоналі.

3) Засобами Microsoft Excel неможливо розрахувати парні або множинні коефіцієнти кореляції, однак можна значно спростити розрахунки, використовуючи вбудовану математичну функцію МОПРЕД, яка дозволяє знайти визначник заданої матриці.

Приклад і результати обчислення визначника матриці надано на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Обчислення визначника заданої матриці


3.7. Завдання для самостійного виконання
3.1. Визначити силу зв’язку між вагою рослини X (г) і вагою його насіння Y (г) за даними таблиці 3.12.

Таблиця 3.12

X405060708090100Y20252830354045

3.2. В таблиці 3.13 приведені дані про роздрібний товарообіг Z (млрд. грн.), середню кількість населення X (млн. осіб) та середній доход Y (млн. грн.). Проаналізувати зв’язок між Z та X і Y за частинними і множинним коефіцієнтами кореляції.

Таблиця 3.13

Z1,21,32,51,41,20,22,44,11,1X1,41,42,51,51,30,32,64,21,1Y1,31,31,41,81,51,61,81,91,6

3.3. Для дослідження впливу капіталовкладень X (млн. грн.) на отриманий річний прибуток Y (млн. грн.) було зібрано статистичні дані за 20 крупними підприємствами (табл. 3.14). Визначити силу зв’язку між означеними факторами.

Таблиця 3.14

X

Y0 ЁC 1010 ЁC 2020 ЁC 3030 ЁC 4040 ЁC 501,5 ЁC 2,51----2,5 ЁC 3,5252--3,5 ЁC 4,5-332-4,5 ЁC 5,5---2-



3.4. В таблиці 3.15 приведені дані про щомісячний прибуток Z (тис. у. од.), витрати на рекламу X (тис. у. од.) та вкладення капіталу в цінні папери Y (тис. у. од.). Проаналізувати зв’язок між Z та X і Y за частинними і множинним коефіцієнтами кореляції.

Таблиця 3.15

Z10121214161718X0,20,50,30,50,50,60,8Y0,80,211,20,911,1

3.5. В таблиці 3.16 наведено дані про рівень витрат X (%) та річний доход Y (млн. грн.), які було зібрано за 50 крупними магазинами. Визначити силу зв’язку між означеними факторами.

Таблиця 3.16

X

Y4 ЁC 66 ЁC 88 ЁC 1010 ЁC 1212 ЁC 140,5 ЁC 2,0--2312,0 ЁC 3,5-451-3,5 ЁC 5,0-855-5,0 ЁC 6,5382--6,5 ЁC 8,021---



3.6 ЁC 3.15. За даними таблиці 3.17 перевірити гіпотезу про наявність лінійного зв’язку.

Таблиця 3.17

№XYµ §3.615347155280,053.736787135540,013.847545312210,053.998341014350,01Продовження таблиці 3.17

№XYµ §3.1010330235640,053.1104785268750,013.1242343868760,053.1375103864240,013.1435725135010,053.1544895629940,01

РОЗДІЛ 4. ПОБУДОВА РЕГРЕСІЙНИХ МОДЕЛЕЙ
При вивченні стохастичних зв’язків між різними ознаками економічного об’єкта головною задачею є встановлення виду кореляційної залежності результативної ознаки (Y) від факторної (X), тобто виду функціональної залежності µ §=f(Х). В першу чергу це пов’язано з необхідністю прогнозування досліджуваних процесів. Математико-статистичний апарат, що дозволяє встановити вид кореляційної залежності називається регресійним аналізом, а функція, що описує цю залежність, називається рівнянням регресії.
4.1. Встановлення виду кореляційної залежності
Регресійний аналіз проводиться за такими етапами:

Встановлення виду кореляційної залежності результативної ознаки Y від факторної ознаки Х.

Побудова регресійної моделі.

Перевірка статистичної значущості побудованої моделі.

Перший етап регресійного аналізу є найважливішим, оскільки помилки у виборі виду залежності призводять до побудови регресійної моделі, що не відповідає емпіричним даним і не може використовуватися для прогнозування.

Вибіркові дані для вивчення кореляційного зв’язку між ознаками Х та Y зазвичай мають вигляд пар їх значень: µ §, µ §, ЎK, µ §, хі ЁC значення величини Х, уі ЁC значення Y, п ЁC кількість пар значень, µ §. Якщо їх кількість достатньо велика, то для зручності розрахунків дані групуються (див. п. 3.2) і будується статистичний ряд, що містить значення Х, відповідні середні значення Y та частоти (табл. 4.1).

Таблиця 4.1

xix1x2ЎKxkµ §µ §µ §ЎKµ §µ §µ §µ §ЎKµ §Згруповані дані (табл. 4.1) зображуються графічно, що часто дозволяє визначити вид залежності Y від Х.

Ламана лінія, що сполучає крапки з координатами  §), називається емпіричною лінією регресії.

Якщо емпірична лінія регресії значно наближається до прямої лінії, то висувається гіпотеза про наявність лінійного зв’язку між досліджуваними ознаками (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Гіпотетична лінійна залежність

В іншому випадку висувається гіпотеза про наявність нелінійного зв’язку (рис.4.2).

Рис. 4.2. Гіпотетична нелінійна залежність

4.2. Лінійна регресія


Якщо висунуто гіпотезу про наявність лінійної залежності результативної ознаки (Y) від факторної (X), то рівняння регресії має вид:

µ §, (4.1)

де µ § - параметри моделі.

Побудова лінійної регресійної моделі ЁC це знаходження параметрів рівняння (4.1). Параметри рівняння регресії зазвичай знаходяться за методом найменших квадратів.

Ідея методу найменших квадратів

Нехай при вивчення залежності Y від Х було отримано вибіркові дані: µ § ЁC значення величини Х, µ § ЁC відповідні значення Y. За вибірковими даними було побудовано рівняння регресії µ §. Якщо в рівняння підставити замість х значення µ §, то будуть отримані теоретичні значення Y: µ §, які відрізняються від µ §. Різниця значень µ § називається помилкою регресійної моделі і позначається еі. Якщо параметри рівняння підбираються так, щоб сума квадратів помилок була мінімальною, то говорять, що вони отримані за методом найменших квадратів.

У випадку лінійної регресії параметри рівняння регресії за методом найменших квадратів знаходяться з системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

µ § (4.2)

Якщо вибіркові дані не згруповані, то система (4.1) значно спрощується:

µ § (4.3)

Перевірка правильності побудови рівняння регресії здійснюється за основним варіаційним рівнянням:

µ §, (4.4)

де µ § - загальна варіація, тобто сума квадратів відхилень емпіричних значень Y від середнього, µ §;

µ § - варіація регресії, тобто сума квадратів відхилень теоретичних значень Y від середнього, що обумовлена регресією;

µ § - варіація залишків, тобто сума квадратів відхилень теоретичних значень Y від емпіричних.

У випадку незгрупованих даних загальна варіація, варіації регресії і залишків знаходяться за формулами: µ §; µ §; µ §; а середнє значення за формулою µ §.

Для перевірки статистичної значущості рівняння регресії розраховується F-статистика за формулою:

µ §, (4.5)

де n ЁC кількість наглядів, l ЁC кількість груп у кореляційній таблиці або кількість параметрів моделі у випадку незгрупованих даних. Розраховане значення F-статистики порівнюється з критичним значенням Fкр розподілу Фішера, яке можна знайти за статистичними таблицями або за допомогою вбудованої функції Excel µ §, де µ § - ступені волі, µ § - рівень значущості.

Адекватність моделі вибірковим даним можна оцінити за коефіцієнтом детермінації µ §, що показує частину варіації значень результативної ознаки Y, що пояснюється рівнянням регресії. Коефіцієнт детермінації розраховується за формулою:

µ §µ §. (4.6)

Значення коефіцієнта детермінації знаходяться в інтервалі µ §, тобто µ §. Чим ближче µ § до 1, тим краще отримане рівняння регресії пояснює поведінку результативної ознаки. Наприклад, якщо µ §=0,98, то 98% варіації результативної ознаки Y пояснюється рівнянням регресії.


ПРИКЛАД 4.1. Побудувати регресійну модель, що описує залежність сумарних виробничих затрат Y (тис. грн.) від об’ємів виробництва Х (тис. од.). Відповідні статистичні дані надано у таблиці 4.2.

Таблиця 4.2

Х41445257596468707375Y670657713736778812833876911932Розв’язок. В таблиці 4.2 надано вибіркові дані: значення µ § величини Х та відповідні значення µ §; кількість пар ЁC µ § невелика, тому для проведення регресійного аналізу їх можна не групувати.

Перший етап аналізу: визначимо вид залежності Y від Х. Побудуємо емпіричну лінію регресії (рис. 4.3).

µ §

Рис. 4.3. Емпірична лінія регресії



Оскільки емпірична лінія регресії наближається до прямої лінії, то висуваємо гіпотезу про лінійну залежність Y від Х, тобто рівняння регресії будемо шукати у вигляді µ §.

Другий етап: знайдемо параметри µ § рівняння регресії, для чого складемо систему (4.3) для даних, що не згруповані. Необхідні розрахунки для зручності оформимо у вигляді таблиці (табл. 4.3).

Таблиця 4.3

Розрахункова таблицяСумихі41445257596468707375603yі6706577137367788128338769119327918µ §168119362704324934814096462449005329562537625µ §27470289083707641952459025196856644613206650369900487643Отже, складемо систему для знаходження параметрів рівняння регресії та розв’яжемо її за правилом Крамера:

µ §.

Знайдемо головний визначник системи, що складений із коефіцієнтів перед невідомими: µ §.



Знайдемо допоміжні визначники, що отримуються із головного заміною відповідного стовпця коефіцієнтів на стовпець вільних членів:

µ §;


µ §.

Знайдемо невідомі за формулами Крамера:

µ §; µ §.

Отже, шукане рівняння регресії має вигляд µ §.

Третій етап: перевіримо правильність побудови моделі за рівнянням (4.4), її статистичну значущість за F-статистикою (4.5) і адекватність вибірковим даним за коефіцієнтом детермінації (4.6). Для чого знайдемо загальну варіацію, варіації регресії та залишків; необхідні розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 4.4).

Передусім знайдемо µ § µ §.

Таблиця 4.4

хіyіµ §µ §µ §µ §41670636,2614835,2424193,321138,5244657660,4418171,0417256,6411,8052713724,916209,444474,42141,8257736765,203113,64707,31852,9259778781,32190,44109,7711,0464812821,62408,04889,1792,5268833853,861697,443850,90434,9670876869,977089,646111,1736,3173911894,1514208,6410475,83283,8775932910,2719656,0414035,10472,20Суми85579,682103,633475,974Отже, µ §; µ §; µ §; тоді основне варіаційне рівняння µ § для побудованої моделі має вигляд: µ § і є тотожністю, тому рівняння регресії побудовано правильно.

Для перевірки статистичної значущості рівняння регресії знайдемо F-статистику, враховуючи, що n=10, l=2 ЁC оскільки шукали рівняння з двома параметрами:

µ §.


Знайдемо Fкр: Fкр=µ §25,41. Розраховане значення F-статистики більше критичного, тому регресійна модель є статистично значущою на рівні 0,001.

Знайдемо коефіцієнт детермінації µ §: µ §µ §. Значення коефіцієнта детермінації свідчить, що 96% варіації результативної ознаки Y пояснюються рівнянням регресії.

Висновок: Сумарні виробничі затрати Y (тис. грн.) лінійно залежать від об’єму виробництва Х (тис. од.). Залежність описується рівнянням µ §, яке є статистично значимим на рівні значущості 0,001 та описує 96% вибіркових даних.
4.3. Нелінійна регресія
Якщо висунуто гіпотезу про наявність нелінійної залежності результативної ознаки (Y) від факторної (X), то регресійний аналіз проводиться за тими ж етапами, як й у випадку лінійної залежності. Вид рівнянь регресії і системи для знаходження їх параметрів для нелінійних залежностей, що найчастіше зустрічаються, надано у таблиці 4.5.

Таблиця 4.5

Рівняння параболічної регресії:

µ §Система для знаходження параметрівдля згрупованих вибіркових даних:


µ §для незгрупованих вибіркових даних:

µ §Рівняння гіперболічної регресії:

µ §Система для знаходження параметрівдля згрупованих вибіркових даних:
µ §для незгрупованих вибіркових даних:

µ §Рівняння показникової регресії:

µ §для згрупованих вибіркових даних:
µ §для незгрупованих вибіркових даних:

µ §Перевірка статистичної значущості нелінійної регресійної моделі також здійснюється за F-статистикою. При цьому для параболічної регресії кількість параметрів l=3, для гіперболічної і показникової ЁC l=2.


ПРИКЛАД 4.2. Дано розподіл однотипових підприємств за об’ємом виробництва Х (тис. од.) і собівартістю одиниці продукції Y (грн.) (табл. 4.6). Знайти регресійну модель, що описує собівартості продукції від об’єму виробництва.

Таблиця 4.6

Y

Х1015202525--1250-22-75-53110013--125311-Розв’язок. Для проведення регресійного аналізу за даними таблиці 4.6 побудуємо кореляційну таблицю (табл. 4.7).



Таблиця 4.7

хі

yj255075100125µ §100001341502531112012301725201003µ §34945µ §За даними кореляційної таблиці побудуємо ряд, що відображає залежність середнього значення Y від Х (табл. 3.2), для чого знайдемо середні значення µ § для кожного значення xi, µ §, і заповнимо таблицю 4.8:



µ §µ §; µ §µ §;

µ §µ §; µ §µ §;

µ §µ §.
Таблиця 4.8

xi255075100125µ §23,3317,517,7813,7513µ §34945Перший етап аналізу: визначимо вид залежності Y від Х. Побудуємо емпіричну лінію регресії (рис. 4.4).

µ §

Рис. 4.4. Емпірична лінія регресії



Оскільки емпірична лінія регресії наближається до гіперболи, то висуваємо гіпотезу про гіперболічну залежність Y від Х, тобто рівняння регресії будемо шукати у вигляді µ §.



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6




База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2020
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка