При президентові україни



Сторінка3/6
Дата конвертації17.11.2018
Розмір0.72 Mb.
ТипПротокол
1   2   3   4   5   6

Оскільки прийняття гіпотези здійснюється на основі статистичних даних, то завжди існує ймовірність помилки.

Ймовірність відкидання гіпотези Н0, якщо вона справедлива, називається ймовірністю помилки першого роду або рівнем значущості і позначається µ §. Величина 1-µ § є ймовірністю прийняття справедливої гіпотези і називається рівнем довіри. Ймовірність прийняття гіпотези Н0, якщо вона не вірна, називається ймовірністю помилки другого роду і позначається µ §. Величина 1-µ § є ймовірністю відкидання невірної гіпотези і називається потужністю критерію.

Чим менше рівень значущості, тим менше ймовірність відкинути вірну гіпотезу. Зазвичай рівень значущості обирається дослідником рівним 0,1; 0,05; 0,01 або 0,001. Якщо, наприклад, обраний рівень значущості µ §=0,01, то риск відкинути вірну гіпотезу виникає в одному випадку із ста.

Зауваження. Перевірка статистичної гіпотези не надає точного висновку щодо її вірності або невірності. Прийняття гіпотези позначає, що на прийнятому рівні значущості вона не протиричіть статистичним даним.

Перевірка статистичних гіпотез зазвичай здійснюється за такими етапами:

Висунення припущень про вид розподілу досліджуваної величини (величин) або про її числові характеристики.

Формулювання статистичних гіпотез.

Вибір критерію перевірки відповідно до змісту гіпотез і статистичних даних.

Вибір рівня значущості залежно від вимог до точності результатів дослідження.

Розрахунок значення обраного критерію за статистичними даними.

Порівняння розрахованого значення критерію з його критичним значенням і прийняття або відкидання основної гіпотези.
2.2. Перевірка гіпотези про вид закону розподілу досліджуваної величини
Перевірка гіпотези про вид закону розподілу досліджуваної величини має велике значення для прикладних досліджень. Необхідність такої перевірки виникає при виборі критерію, оскільки для багатьох з них висувається вимога нормального розподілу статистичних даних. Означені гіпотези перевіряються при проектуванні систем масового обслуговування, перевірки якості продукції або праці і т. ін.

Припустимо, що з деякої генеральної сукупності Х, яка розглядається як випадкова величина, обрана вибірка µ §. За даними вибірки побудовано статистичний ряд (табл. 2.1), що містить варіанти хi та відповідні частоти пi, µ §, k ЁC кількість варіант у випадку дискретного ряду. У випадку інтервального ряду хi ЁC середини інтервалів, k ЁC кількість інтервалів.


Таблиця 2.1

хiх1х2ЎKхkпiп1п2ЎKпkОтриманий на основі вибіркових даних статистичний ряд називається емпіричним законом розподілу величини Х.

За даними статистичного ряду можна знайти числові характеристики, які є вибірковими параметрами закону розподілу Х. Вид закону розподілу визначається відповідно до умов здобуття вибірки або залежно від виду графіка емпіричної щільності розподілу (гістограми) у випадку неперервної випадкової величини Х і полігону частот, якщо величина Х дискретна. Параметри обраного закону розподілу заміняються відповідними вибірковими параметрами.

Закон розподілу випадкової величини Х, параметрами якого є відповідні вибіркові числові характеристики, називається теоретичним законом розподілу.

При здійсненні такої заміни немає впевненості, що закон розподілу обраний правильно. Тому розроблено процедуру, яка дозволяє оцінити ступінь відповідності обраного закону даним вибірки. Критерії здійснення такої перевірки називаються критерії згоди, найбільш відомим з яких є критерій Пірсона µ § (хи-квадрат).

Критерій Пірсона µ § обчислюється за формулою:

µ §, (2.1)

де µ § ЁC частоти, отримані за теоретичним законом розподілу (теоретичні частоти).

З формули (2.1) видно, що у випадку, коли відповідні теоретичні та емпіричні частоти співпадають, ч2=0. Тобто чим ближче ч2 до нуля, тим краще узгоджуються вибіркові дані та обраний теоретичний закон розподілу.

Розраховане значення критерію ч2 порівнюється з його критичним значенням µ §, яке знаходиться за статистичними таблицями або за допомогою вбудованої статистичної функції Excel ХИ2ОБР(µ §, l). Параметрами функції ХИ2ОБР є: µ § ЁC рівень значущості; l ЁC ступені волі, l µ §, де k ЁC кількість груп емпіричного розподілу, r ЁC кількість параметрів теоретичного розподілу (наприклад, для нормального розподілу r=2, оскільки параметрів два ЁC а і µ §). Якщо µ §, то гіпотеза про закон розподілу приймається. У противному випадку гіпотеза відкидається.

Зауваження. У деяких статистичних таблицях критичне значення ч2 надається залежно від рівня довіриµ §, µ §=1-µ §.

Отже, перевірка гіпотези про закон розподілу величини Х здійснюється за такими етапами:

З генеральної сукупності Х здобувається вибірка і будується статистичний ряд.

Висувається гіпотеза про закон розподілу випадкової величини Х.

Знаходяться вибіркові параметри обраного закону розподілу.

Розраховуються теоретичні частоти.

Розраховується критерій ч2 за формулою (2.1).

Обирається рівень значущості µ § (або рівень довіри µ §) і знаходиться критичне значення µ § (або µ §).

Порівнюються розраховане і критичне значення критерію ч2 і робиться висновок про справедливість висунутої гіпотези.
ПРИКЛАД 2.1. За наданим інтервальний статистичним рядом (табл. 2.2) знайти закон розподілу випадкової величини Х.

Таблиця 2.2

µ §µ §µ §µ §µ §µ §пi6112175Розв’язок. Для визначення виду закону розподілу побудуємо гістограму за даними таблиці 2.2 (рис. 2.1). За видом гістограми висуваємо гіпотезу про нормальний закон розподілу даної випадкової величини:

Н0 ЁC випадкова величина Х розподілена за нормальним законом;

Н1 ЁC випадкова величина Х не розподілена за нормальним законом.

µ §


Рис. 2.1. Гістограма за даними таблиці 2.2

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за нормальним законом має вид µ §, де а і µ § ЁC параметри розподілу. Знайдемо означені параметри, враховуючи, що µ §. Розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

µ §µ §µ §µ §µ §µ §пi6112175хi-1,60,800,81,6хi пi-9,68,805,68µ §13,5725,4520,1945,62014,382Знайдемо вибіркове середнє, вибіркову дисперсію і вибіркове середнє квадратичне відхилення за формулами (1.6), (1.13) та (1.16) відповідно:

µ §;

µ §;


µ §.

Отже, параметрами теоретичного закону розподілу є: µ §.

Для знаходження значення критерію ч2 розрахуємо теоретичні частоти µ §. Теоретичні частоти можна знайти за формулою пi’=npi, де рі ЁC ймовірності попадання випадкової величини в певний інтервал. Для нормального закону розподілу означені ймовірності знаходяться за формулою µ §, де Ф ЁC функція Лапласа, значення якої надані у статистичних таблицях. Для зручності обчислень побудуємо таблицю (табл. 2.4).

За формулою (2.1) маємо: µ §. Знайдемо критичне значення µ §, враховуючи, що l µ §=5-2-1=2. Рівень значущості µ § оберемо рівним 0,1. За допомогою Excel знаходимо ХИ2ОБР(0,1; 2)=4,6.

Отже, оскільки µ §, гіпотеза Н0 про нормальний розподіл приймається, гіпотеза Н1 відкидається.

Таблиця 2.4

µ §µ §µ §µ §µ §µ §пi6112175хi-1,60,800,81,6хi пi-9,68,805,68µ §13,5725,4520,1945,62014,382µ §-2,1498-1,2465-0,34330,561,4633µ §-0,958-0,785-0,2660,4250,856pi0,08560,25950,34550,21550,063пi’=npi4,32512,97517,27510,7753,15µ §0,6490,3010,8031,3231,087

ПРИКЛАД 2.2. На одній з міських АТС фіксувалася кількість телефонних дзвінків в годину. Спостереження велися на протязі 100 годин, їх результати представлені в таблиці 2.5. Чи можна вважати навантаження на АТС стандартним?

Таблиця 2.5

Кількість викликів в годину01234567Кількість спостережень627262010551Розв’язок. Навантаження на АТС можна вважати стандартним, якщо випадкова величина Х ЁC кількість телефонних дзвінків, що поступили, підкоряється закону розподілу Пуассона. Тобто отримання відповіді необхідно перевірити гіпотезу про закон розподілу випадкової величини. Сформулюємо гіпотези:

Н0 ЁC випадкова величина Х підкоряється закону розподілу Пуассона;

Н1 ЁC випадкова величина Х не підкоряється закону розподілу Пуассона.

Закон Пуассона має вигляд: µ §де µ § - параметр розподілу. Крім того, відомо, що µ §. Отже, для встановлення параметра µ § потрібно знайти µ § або µ §.

Випадкова величина Х ЁC кількість викликів в годину; тоді кількість спостережень ЁC це відповідні значенням Х частоти µ §, а таблиця 2.5 є статистичним рядом і емпіричним законом розподілу величини Х. Знайдемо µ § і µ §. Для зручності обчислення оформимо у вигляді таблиці (табл. 2.6).

Таблиця 2.6

µ §01234567Сумиµ §627262010551100µ §µ §02752604025307241µ §34,8553,684,376,9625,2833,5464,4421,07244,19Отже, µ §; µ §.

Оскільки повинна виконуватися рівність µ §то як параметр можна вибрати або µ §, або µ §, або їх середнє арифметичне. Виберемо µ §. Таким чином, гіпотеза Н0 ЁC це припущення, що величина Х розподілена згідно із законом Пуассона: µ §

Перевіримо правильність гіпотези за допомогою критерію Пірсона. Знайдемо теоретичні частоти, використовуючи формулу: µ § Як µ § візьмемо значення Х, тобто µ §.

Відмітимо, що pi ЁC ймовірність того, що Х прийме значення µ §, тобто статистично вони є відносними частотами, теоретичні частоти знаходитимемо за формулою: ni’=npi.

Для зручності при обчисленні теоретичних частот продовжимо таблицю, складену на основі статистичного ряду (табл. 2.7).

Отже, за результатами розрахунків µ §.

Для даного завдання µ §=8-1-1=6. Виберемо рівень значущості µ §=0,01 і знайдемо за допомогою таблиць або функції ХИ2ОБР табличного процесора Excel значення µ §: µ §=16,812. Оскільки для такого рівня довіри (0,99) µ §, то гіпотезу Н0 про розподіл Пуассона можна прийняти.

Таблиця 2.7

µ §01234567Сумиµ §627262010551100pi=µ §0,090,210,260,210,130,060,030,01ni’=npi8,8421,4426,0121,0312,766,192,500,87µ §0,911,444,65E-060,050,590,232,490,025,739Висновок: навантаження на АТС можна вважати стандартним.


ПРИКЛАД 2.3. З метою впорядкування роботи міського суспільного транспорту фіксувався час очікування в хвилинах пасажирами тролейбусів на декількох маршрутах. Було проведено 200 вимірювань, їх результати представлені в таблиці 2.8. Чи можна вважати, що перевезення по перевірених маршрутах забезпечені раціонально?

Таблиця 2.8

Час очікування1 ЁC 33 ЁC 55 ЁC 77 ЁC 99 ЁC 1111 ЁC 13Кількість спостережень253048354220Розв’язок. Можна вважати, що перевезення по перевірених маршрутах забезпечені раціонально, якщо випадкова величина Х ЁC час очікування пасажирами транспорту підкоряється рівномірному закону розподілу. Тобто задача зводиться до перевірки гіпотези про закон розподілу випадкової величини. Сформулюємо гіпотези:

Н0 ЁC випадкова величина Х розподілена рівномірно;

Н1 ЁC випадкова величина Х не розподілена рівномірно.

Щільність розподілу випадкової величини, що підкоряється рівномірному закону має вигляд: µ §де а; b - параметри розподілу. Крім того, відомо, що µ §. Тобто для встановлення параметрів а і b потрібно знайти µ § і µ §, після чого розв’язати систему: µ §.

Оскільки за умов задачі випадкова Х ЁC час очікування транспорту, то кількість спостережень ЁC це відповідні значенням Х частоти µ §, а таблиця 2.8 ЁC це інтервальний статистичний ряд і емпіричний закон розподілу Х. Знайдемо µ § і µ §. Як µ § візьмемо середини відповідних інтервалів. Для зручності обчислення оформимо у вигляді таблиці (табл. 2.9).

Таблиця 2.9

µ §1 ЁC 33 ЁC 55 ЁC 77 ЁC 99 ЁC 1111 ЁC 13Сумиµ §24681012µ §253048354220200µ §µ §501202882804202401398µ §622,5268,247,04535,704380,525021856Отже, µ §; µ §.

Складемо систему для визначення параметрів рівномірного розподілу і розв’яжемо її:

µ §.

Таким чином, гіпотеза Н0 ЁC це припущення, що Х розподілена за рівномірним законом із щільністю розподілу:



µ §.

Перевіримо справедливість гіпотези Н0 за допомогою критерію Пірсона. Для знаходження теоретичних частот використаємо формулу ni’=npi, а ймовірності попадання в інтервали pi знайдемо за формулою: µ §.

Для зручності обчислень теоретичних частот складемо таблицю (табл. 2.10). Врахуємо, що µ § для всіх інтервалів, окрім першого і останнього. Для першого інтервалу µ §; для останнього інтервалу µ §.

Таблиця 2.10

µ §1 ЁC 33 ЁC 55 ЁC 77 ЁC 99 ЁC 1111 ЁC 13Сумиµ §253048354220200µ §1,28522221,265µ §0,1220,190,190,190,190,12ni’=npi24,36037,91537,91537,91537,91523,981µ §0,0171,65222,68270,22410,44020,66095,677Отже, µ §.

Для даного завдання µ §=6-2-1=3. Виберемо рівень значущості µ §=0,01 і знайдемо за допомогою таблиць або функції ХИ2ОБР табличного процесора Excel значення µ §: µ §=11,34. Оскільки для такого рівня довіри (0,99) µ § гіпотезу про рівномірний розподіл приймаємо.

Висновок: перевезення по перевірених маршрутах організовані раціонально.
2.3. Перевірка гіпотез про генеральні середні і дисперсії
В прикладних задачах часто виникає необхідність перевірки рівності середніх значень та дисперсій за даними двох або більше вибірок. Наприклад, коли визначається перевага одній з технологій виготовлення певної продукції, або наявність підвищення продуктивності праці після внесення змін в процес виробництва, або при перевірці якості продукції. Здійснення означеної перевірки виконується за критеріями, що обираються залежно від виду розподілу вибіркових даних і мети дослідження. Для деяких критеріїв перевірки рівності середніх значень висувається додаткова вимога про рівність генеральних дисперсій.
2.3.1. Перевірка гіпотези про рівність генеральних дисперсій. F-критерій (Фішера)

Перевірка гіпотези про рівність генеральних дисперсій здійснюється за F-критерієм (Фішера) тільки тоді, коли статистичні дані незалежні і розподілені за нормальним законом. Формулюються гіпотези:

Н0 ЁC дисперсії двох нормально розподілених генеральних сукупностей рівні, тобто µ §;

Н1 - дисперсії двох нормально розподілених генеральних сукупностей не рівні, тобто µ §.

F-критерій (Фішера) розраховується за формулою:

µ §, (2.2)

Гіпотеза Н0 приймається, якщо розраховане значення F менше критичного значення розподілу Фішера Fкрит, взятого із рівнем значущості µ § і ступенями волі l1 та l2 для чисельнику і знаменнику відповідно: l1=п1 ЁC 1, l2=п2 ЁC 1, де п1, п2 ЁC об’єми вибірок. Fкрит можна знайти за допомогою вбудованої статистичної функції Excel FРАСПОБР (µ §; l1; l2).

Зауваження. Дисперсія у чисельнику дроби у формулі (2.2) повинна бути більше дисперсії у знаменнику, тобто значення F-критерію повинно бути більше одиниці.


ПРИКЛАД 2.4. Відомі дані про продуктивність праці (одиниць продукції за зміну) двох груп працівників: група 1 складається з працівників, що пройшли спеціальний навчальний курс; група 2 ЁC із працівників, що не пройшли курсу (табл. 2.11). Враховуючи, що дані розподілені за нормальним законом, перевірити гіпотезу про рівність дисперсій.

Таблиця 2.11

Група 1Група 2Продуктивність праці34859610210363698389106Кількість працівників52118426831Розв’язок. Дані таблиці 2.11 є двома вибірками. Перша ЁC вибірка значень величини Х1 ЁC продуктивності праці робітників, що пройшли навчання, друга ЁC вибірка величини Х2 ЁC продуктивності праці робітників, що не пройшли навчання.

Сформулюємо гіпотези: Н0 ЁC дисперсії генеральних сукупностей, з яких зроблено вибірки, рівні, µ §; Н1 - дисперсії не рівні, µ §. Перевіримо справедливість гіпотези Н0 за F-критерієм (Фішера).

Знайдемо за вибірковими даними оцінку дисперсії Х1 за формулою (1.14). Розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 2.12).

Таблиця 2.12

хі348596102103Сумипі52118430хі пі17017010568164122624µ §14293,4212,17801,001689,74965,1417761,47Отже, µ §;

µ §.


Аналогічно знайдемо оцінку дисперсії Х2. Розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл.. 2.13).

Таблиця 2.13

хі63698389106Сумипі2683120хі пі1264146642671061577µ §502,45582,13137,78309,07737,122268,55Отже, µ §;

µ §.


Знайдемо значення F-критерію за формулою (2.2). Оскільки µ §. Знайдемо Fкрит, враховуючи, що l1=п1 ЁC 1=30-1=29; l2=п2 ЁC 1=20-1=19. Рівень значущості оберемо µ §=0,05. Тоді Fкрит= FРАСПОБР (0,05; 29; 19)=2,077.

Оскільки F>Fкрит, то гіпотезу Н0 відкидаємо і приймаємо гіпотезу Н1 ЁC дисперсії не рівні, тобто вибірки здобути з різних генеральних сукупностей.

Висновок: навчальний курс суттєво впливає на продуктивність праці робітників.
2.3.2. Перевірка гіпотези про рівність генеральних дисперсій. Критерій Зігеля-Тьюкі

Якщо статистичні дані не розподілені за нормальним законом або виміряються з використанням порядкової шкали, то перевірка гіпотези про рівність генеральних дисперсій здійснюється за критерієм Зігеля-Тьюкі. Формулюються гіпотези:

Н0 ЁC дисперсії двох генеральних сукупностей рівні, тобто µ §;

Н1 - дисперсії двох генеральних сукупностей не рівні, тобто µ §.

Перевірка виконується за даними двох вибірок за такими етапами:

1) Формується об’єднана вибірка.

2) Даним об’єднаної вибірки присвоюються ранги (порядкові номери) за правилом: найменшому значенню присвоюється ранг 1, двом найбільшим ЁC ранги 2 і 3; наступним двом найменшим ЁC ранги 4 і 5; наступним найбільшим ЁC ранги 6 і 7 і т. д. При цьому, якщо кількість елементів вибірки непарна, то її центральний елемент (тобто медіана) не отримує ніякого рангу.

3) Розраховуються суми рангів елементів вихідних вибірок µ §.

4) Розраховується нормальна випадкова величина Z за формулою:

µ §, (2.3)

де п1, п2 ЁC об’єми вибірок. При цьому µ § ЁC сума рангів меншої за об’ємом вибірки. Якщо µ §, Z розраховується за формулою:

µ §. (2.4)

5) У випадку, коли перевіряються вибірки різних об’ємів, обчислюється скоректована нормальна випадкова величина µ § за формулою:

µ §. (2.5)

6) Обирається рівень значущості µ §.

7) За допомогою таблиці значень функції нормального розподілу або вбудованої функції Excel НОРМРАСП знаходиться ймовірність Р(Z) або Р(µ §).

8) Порівнюються рівень значущості µ § і величина 2Р(Z) (2Р(µ §)). Якщо 2Р(Z)> µ § (або 2Р(µ §)>µ §), то гіпотеза Н0 про рівність генеральних дисперсій приймається.

Зауваження. Для перевірки правильності присвоєння рангів можна скористатися формулами: µ § у випадку парної кількості елементів об’єднаної вибірки; µ § у випадку непарної кількості цих елементів.


ПРИКЛАД 2.5. У результаті дослідження надійності станків двох виробників отримані дані про час (в годинах) безаварійної праці (табл. 2.14). Враховуючи, що дані не розподілені за нормальним законом, перевірити гіпотезу про рівність дисперсій.

Таблиця 2.14

ВиробникЧас безаварійної праці1280230112176901752161102051152200126225210260194156240170232Розв’язок. Дані таблиці 2.14 є двома вибірками. Перша ЁC вибірка значень величини Х1 ЁC часу безаварійної праці станків виробника 1; друга ЁC вибірка величини Х2 ЁC часу безаварійної праці станків виробника 2.

Сформулюємо гіпотези: Н0 ЁC дисперсії генеральних сукупностей, з яких зроблено вибірки, рівні, µ §; Н1 - дисперсії не рівні, µ §. Перевіримо справедливість гіпотези Н0 за критерієм Зігеля-Тьюкі.

Сформуємо об’єднану вибірку, присвоїмо її елементам ранги і знайдемо їх суму. Результати розрахунків оформимо у вигляді таблиці (табл. 2.15). Для зручності підкреслимо елементи першої вибірки.

Розрахуємо за формулою (2.3) значення Z, враховуючи, що п1=п2=10:

µ §.

Оберемо рівень значущості µ §=0,05. За допомогою вбудованої функції Excel НОРМРАСП знаходиться ймовірність Р(Z):



Р(Z)=НОРМРАСП(-0,394; 0; 1; ИСТИНА)=0,3469.

Оскільки 2Р(Z)=2µ §0,3469=0,6938 > µ §=0,05, то гіпотеза Н0 про рівність генеральних дисперсій приймається.

Висновок: дисперсії надійності станків двох виробників однакові.

Таблиця 2.15

Елементи об’єднаної вибіркиСортована об’єднана вибіркаРанги елементів об’єднаної вибіркиРанги елементів першої вибіркиРанги елементів другої вибірки280901123011044112112551761158890126991751561212216170131311017516162051761717115194202020020019191262051818225210151521021614142602251111194230101015623277240240661702603323228022Суми95115

2.3.3. Перевірка гіпотези про рівність генеральних середніх. Критерій Стьюдента

Критерій Стьюдента використовується для перевірки гіпотез про рівність генеральних середніх, якщо статистичні дані розподілені за нормальним законом. Формулюються гіпотези:

Н0 ЁC середні двох генеральних сукупностей рівні, тобто µ §;

Н1 - середні двох генеральних сукупностей не рівні, тобто µ §.

Перевірка виконується за даними двох вибірок об’ємом п1 та п2. При цьому можливі такі випадки.

Випадок 1. Генеральні дисперсії рівні (µ §). Тоді t-критерій Стьюдента обчислюється за формулою:

µ §. (2.6)

Розраховане значення t-критерію порівнюється з критичним значенням tкрит, де tкрит ЁC критичне значення розподілу Стьюдента з параметрами µ § і ступенем воли µ §, яке надається в статистичних таблицях або знаходиться за допомогою вбудованої функції Excel СТЬЮДРАСПОБР(µ §;l).

Випадок 2. Генеральні дисперсії не рівні (µ §). Тоді t-критерій Стьюдента обчислюється за формулою:

µ §. (2.7)

Розраховане значення t-критерію також порівнюється з критичним значенням tкрит, але ступені волі розраховуються за формулою:

µ §. (2.8)

Випадок 3. Вибірки не є незалежними, оскільки на них впливає певний фактор і його вплив не відомий, або вибірки є даними, отриманими до і після проведення певного експерименту. Тоді формується парна вибірка, і для кожної пари елементів знаходиться d ЁC різність їх значень. Подальша перевірка здійснюється над вибіркою різностей. t-критерій Стьюдента обчислюється за формулою:

µ §. (2.9)

де µ § ЁC вибіркове середнє для вибірки різностей;

µ § ЁC вибіркове середнє квадратичне відхилення для вибірки різностей;

п ЁC об’єм вибірки різностей.

Розраховане значення t-критерію також порівнюється з критичним значенням розподілу Стьюдента з параметрами µ § і ступенями воли µ §.

У всіх випадках гіпотеза Н0 приймається, якщо розраховане значення t-критерію менше за абсолютною величиною критичного значення tкрит:

µ § tкрит.
ПРИКЛАД 2.6. Для виробництва кожної з 10 деталей за першою технологією було витрачено, у середньому, 30с. Дисперсія часу складала 1с2. Для виробництва кожної з 16 деталей за другою технологією було витрачено, у середньому, 28с із дисперсією часу 2с2. Чи можна вважати, що у середньому для виробництва деталей за першою технологією потрібно більше часу?

Розв’язок. За умов задачі було зроблено дві вибірки: перша ЁC вибірка об’єму п1=10 значень величини Х1 ЁC часу, потрібному для виготовлення деталей за першою технологією; друга ЁC вибірка об’єму п2=16 значень величини Х2 ЁC часу, потрібному для виготовлення деталей за другою технологією. Відомі вибіркові середні µ §=30с та µ §=28с ЁC середній час, необхідний для виготовлення деталей за першою і другою технологіями відповідно. Відомі дисперсії часу для вибірок: µ §=1с2 та µ §=2с2. За питанням задачі потрібно перевірити гіпотезу про рівність генеральних середніх.

Сформулюємо гіпотези:

Н0 ЁC середні двох генеральних сукупностей рівні, тобто µ §;

Н1 - середні двох генеральних сукупностей не рівні, тобто µ §.

Перед вибором критерію для перевірки потрібно встановити, чи рівні генеральні дисперсії. Скористуємось критерієм Фішера. За формулою (2.2) обчислимо значення F-критерію:

оскільки µ §, то µ §.

Знайдемо критичне значення розподілу Фішера Fкрит: оберемо рівень значущості µ §=0,05; врахуємо, що ступені волі l1=п1ЁC1=9 та l2=п2ЁC1=15. Тоді FРАСПОБР (µ §; l2; l1)=FРАСПОБР (0,05; 15; 9)=3,006. Отже, F< Fкрит, тому генеральні дисперсії можна вважати рівними.

Оскільки генеральні дисперсії рівні (випадок 1), то t-критерій Стьюдента розраховуємо за формулою (2.6):

µ §.


Знайдемо критичне значення розподілу Стьюдента tкрит , враховуючи, що µ §. Оберемо значення µ §=0,05. Тоді tкрит=СТЬЮДРАСПОБР(µ §;l)=СТЬЮДРАСПОБР(0,025;24)=2,39.

Отже, µ §tкрит, тому гіпотеза Н0 про рівність генеральних середніх відкидається на рівні значущості 0,05 і приймається гіпотеза Н1.

Висновок: для вироблення деталей за першою технологією потрібно, у середньому, більше часу.



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6




База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2020
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка