Всеукраїнська науково-практична конференція



Сторінка2/60
Дата конвертації11.05.2018
Розмір3.74 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   60



Пленарні засідання


j0299125

УДК 517.977:519.718

СОПРОНЮК Ф.О.


ЧНУ (Україна)

ДЕЯКІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ ЗІ ЗМІНОЮ ВИМІРНОСТІ ФАЗОВОГО ПРОСТОРУ



Запропоновані задачі для систем зі змінною вимірністю фазового простору з теорії диференціальних ігор, мінімаксного оцінювання та оптимального розрахунку допусків на параметри. Наведено математичні моделі для лінійних систем, вказано на принципову розвязність сформульованих задач на основі алгоритмів аналітичного, числового та компютерного моделювання.
Нехай на проміжку з розбиттям розглядається диференціальна гра двох гравців: переслідувача і втікача , де , тобто точки на площині.

Вважаємо, що до моменту рух переслідувача і втікача описується рівняннями



а після моменту рівняннями



де , .

Цілі переслідувача і втікача протилежні. Перший прагне привести траєкторію системи на термінальну множину за найкоротший час, другий максимально відтягнути момент попадання траєкторії на цю множину. Термінальна множина визначається так, щоб відстань між гравцями задовольняла нерівність , де деяке число. Якщо ця нерівність задовольняється, то вважається, що переслідувач спіймав втікача.

Для розв'язання диференціальної гри застосуємо метод розв'язувальних функцій.

Зробимо заміну .

Тоді рівняння набудуть вигляду


де це вектор, який складається з перших двох компонент вектора ; це вектор, який складається з останніх двох компонент вектора .

У такому випадку нульова матриця другого порядку, матриця четвертого порядку, одинична матриця порядку 2, . При цьому

де .

Умова закінчення гри: або для а якщо ні, то для . Для термінальна множина

ортопроектор з в . Для одержуємо

Фундаментальна матриця , фундаментальна матриця , а для фундаментальна матриця має вигляд

На основі фундаментальних матриць побудуємо багатозначні відображення : 1) , ;

2) ,

3) , .

За методом розв'язувальних функцій знайдено:

селектор багатозначного відображення ;

функції


функції і ,

багатозначні відображення


Припустивши, що , знайдено розв'язувальні функції



, і , з чого можна зробити висновок, що гра не може завершитися до моменту .

Для



Значення розв'язувальної функції знайдене як корінь рівняння



звідки

За методом розв'язувальних функцій потрібно знайти

і з умови рівності цього інтеграла 1 одержуємо , яке є розв'язком диференціальної гри.

Оскільки знайти в аналітичному вигляді цей інтеграл неможливо, то розроблено процедуру в середовищі Mathcad 14, за допомогою якої проведено числовий експеримент, що дозволило зробити повний аналіз розв'язання даної задачі.

Розглянемо систему




(1)

за умов зміни вимірності фазового простору




(2)

на відрізку з розбиттям , , , де матриці розмірностей , відповідно з неперервними елементами на відрізках , – деякі невідомі вектори розмірності з простору , , , – відомі сталі матриці розмірностей , , відповідно, причому – одинична матриця порядку , а нульова матриця порядку , – деякі невідомі вектори розмірності . Вважатимемо, що , .

Нехай на проміжку спостерігається вектор-функція




(3)

де – матриця розмірності з неперервними елементами на відрізку , – зв’язок (1) за деякої функції , – деяка невідома вектор-функція,

Функцію



(4)

яка задовольняє рівняння (4) і початкову умову , вважатимемо розв’язком системи (1). Зауважимо, що розв’язок цього рівняння існує і єдиний за будь-якої функції .

Шукатимемо оцінку скалярного добутку у класі лінійних оцінок вигляду




(5)


де вектор-функція з простору ,



деяка стала.

Означення. Оцінку , яка задовольняє умову





(6)

називають гарантованою або мінімаксною оцінкою.

Множина в рівності (6) – множина, якій належать початкові умови, функції системи (1), вектори умов (2) та функції з рівності (3), , .

Нехай , , розв’язки наступних систем





(7)

за умов




(8)



(9)

де , , – транспоновані матриці для матриць , , .

Лема 1. Нехай , – розв’язок (7) за умов (8), (9). Тоді

,

де




Для будь-якого вектора позначимо через величину . Розглянемо множину











}.

де – додатні числа, .



Лема 2. Нехай вектор-функції належать множині . Тоді виконується рівність

де








.

Припустивши, що належать множині , знайдено мінімаксну оцінку кінцевого стану системи (1) за умов (2) за результатами спостережень (3). Показано, що для відшукання мінімаксної оцінки потрібно розв’язати задачу про оптимальний регулятор. Розроблено комп’ютерну процедуру числового розрахунку оптимального регулятора.

Далі на відрізку з розбиттям , pозглянемо лінійну систему



(10)

за умов зміни вимірності фазового простору





(11)

причому , , – вектор параметрів системи (10) розмірності , – квадратні матриці порядку , – неперервні прямокутні матриці на розмірності .

Умови (11) задають зміну вимірності фазового простору, в яких – відомі сталі матриці розмірностей відповідно, причому – одинична матриця порядку ,.

Позначимо , де та – розрахунковий вектор траєкторії системи (11) та розрахунковий вектор параметрів при .

Одержимо систему






(12)

за зміни вимірності фазового простору







(13)

причому

Нехай початкова множина параметрів системи (13) має вигляд



а для розрахунку області допусків на параметри розглянемо конкретні множини допустимих розкидів вектора стану



Тут ми вважаємо, що множина векторів – відома.

Позначимо – фундаментальну матрицю, яка задовольняє матричну задачу Коші

Знайдемо розв’язок системи (12) за умов (13)




(14)

де





Якщо в (14) при врахувати, що , то





Означення. Незбурений рух системи (12) за умов (13) назвемо – стійким, якщо при , як тільки .

Тепер сформулюємо критерій, на основі якого можна оцінити множину допустимих параметрів для всіх значень , з якої при .



Критерій. Для оцінки на параметри системи (12) за умов (13) необхідно і достатньо, щоб виконувалася нерівність

де




причому – лінійні початкові умови відносно .

Одержані результати можна узагальнити для систем виду

а також для нелінійних систем виду



для яких потрібно провести лінеаризацію на кожному інтервалі ..


ПЕРЕЛІК ЛІТЕРАТУРИ

1. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы / Чикрий А.А. К.: Наукова думка, 1992. 384с.

2. Кривонос Ю.Г Динамические игры  с разрывными траекториями / Кривонос Ю.Г, Матичин И.И., Чикрий А.А. К.: Наукова думка, 2005. 220с.

3. Гаращенко Ф.Г. Аналіз та оцінка параметричних систем / Гаращенко Ф.Г., Панталієнко Л.А. – К.: ІСДО, 1995. – 140 с.

4. Бублик Б.Н. Некоторые задачи наблюдения и управления в линейных системах / Бублик Б.Н., Данилов В.Я., Наконечный А.Г. К.: УМК ВО, 1988. 191 с.

5. Бублик Б.Н. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость динамики пучков / Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф.  К.: Наукова думка, 1985. 305 с.

6. Розвиток методів і технологій моделювання та оптимізації складних систем / [Гаращенко Ф.Г., Волошин О.Ф., Кириченко М.Ф. та ін.]; за редакцією Гаращенка Ф.Г. – К.: Сталь, 2009. – 668с.

7. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах / Наконечный А.Г. – К.: КГУ, 1985. 83 с.

8. Наконечний О.Г. Оптимальне керування та оцінювання в рівняннях із частинними похідними / Наконечний О.Г. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2004. – 103 с.

9. Сопронюк Ф.О. Моделювання та оптимізація систем управління з розгалуженням структур / Сопронюк Ф.О. – Чернівці: Рута, 1995. – 155 с.

УДК 004.2



Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   60


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка