Всеукраїнська науково-практична конференція



Сторінка12/60
Дата конвертації11.05.2018
Розмір3.74 Mb.
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   60

Максимов Б.В.


СевНТУ (Украина)

Интегродифференциальные операторы в математических моделях кибернетических систем



Вводится понятие одновременного интегродифференцирования переменных в математических моделях, отождествляемое с аналогичным преобразованием сигналов кибернетических систем любой физической природы.
Цель работы – предложить подход к решению задач структурной декомпозиции и инвариантности кибернетических систем, изначально описываемых в классе обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Под структурной декомпозицией понимается введение связей, позволяющих представить определители матриц в виде произведения диагональных блоков/элементов их главной диагонали. Инвариантность рассматривается как обращение в нуль замещенных определителей при решении операторных уравнений по теореме Крамера [1].Предлагаемый подход к задачам структурного синтеза систем [2,3] приводит к неэквивалентным преобразованиям ДУ, позволяющим сформулировать гипотезу одновременного интегродифференцирования (ОИД). Системы, полученные в результате декомпозиции и обеспечения инвариантности, дополняются дробно-рациональными операторами вида где и описываются новым, более широким классом интегродифферен-циальных уравнений (ИДУ*). В задаче декомпозиции уравнения приобретают канонические свой-ства без внешней классической канонической формы. Понятия «дифферинтеграл», «интегро-дифференциал» используются в несколько ином смысле в дробном математическом анализе (дробной динамике) [4], равно как и для обозначения дифференциального оператора в отрица-тельной степени Решение задач структурного синтеза позволяет на первых этапах проектирования выбрать рациональную структуру системы, отражающую взаимодействие подсистем и связей. Последующий синтез связей может ускорить доводку системы с экономией времени и средств без переконструирования комплектующих подсистем.

Сущность преобразования иллюстрируется на примере структурной декомпозиции [1,2] ДУ описывающих, например, динамику летательного аппарата с автопилотом:, где - переменные состояний системы; - дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами; - функции внешних воздействий. Декомпозиция сводится к выбору связей подсистем, удовлетворяющих условию, , которое реализуется при выборе, например , виде дробно-рационального оператора . Задача инвариантности, например, координаты от возмущения решается обращением в нуль замещенного определителя , что может быть обеспечено выбором, например, элемента в виде дробно-рационального оператора . ДУ с элементами и/или переходят в класс нестандартных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ*) с дробно-рациональными операторными коэффициентами. Подобное преобразование не эквивалентно [1], не замкнуто, обратный эквивалентный равносильный переход от ИДУ* к ДУ отсутствует. Формулируется гипотеза: дробно-рациональные коэффициенты и/или в полученном таким образом ИДУ* характеризуют преобразование «вход-выход» переменных состояния системы, которое назовем «принципом одновременного интегродифференцирования (ОИД)». Так как переменные математических моделей физических систем представляют отображение сигналов (информации), то понятие ОИД переменных предлагается отождествить и с понятием ОИД физических сигналов систем любой физической природы. Эту терминологию можно считать условной на первых этапах исследования как свойств ИДУ*, так и дробно-рациональных операторов как функций преобразования переменных. Предположительно, реализация подобных преобразований в кибернетических системах сведется к их программному моделированию и, в конечном счете, – разработке соответствующих стандартов преобразования информации, воплощенных в микропроцессорные схемы.

Таким образом, подобное представление расширяет традиционные формы математических моделей кибернетических систем, компоненты которых представляются дифференциальными уравнениями, составляемыми на основании известных физических законов природы [5]. Отсутствие формулировок законов, основанных на принципе ОИД, создает проблемы непосредственного описания математических моделей с использованием этого принципа. Отсутствует и корректное представление функции ОИД как единства противоположностей операций интегрирования и дифференцирования. Операторная запись ИДУ может быть дополнена до ИДУ* , где - внутренние, - выходная переменная системы. В аналогичной форме могут быть представлены и обобщенные законы управления, равно как и уравнения связей подсистем. Сложным системам, образованным взаимодействием нескольких физических подсистем, соответствуют обобщенные операторные модели , где и - векторы состояний и внешних воздействий, соответственно. В матричном представлении прикладные задачи могут описываться смешанными уравнениями, где различные элементы (блоки) матрицы могут содержать алгебраические, дифференциальные, интегральные, равно как и обобщенные интегродифференциальные операторы, отражающие принцип ОИД переменных/физических сигналов.

Использование неэквивалентных преобразований в задаче структурного синтеза кибернетических систем позволило сформулировать гипотезу принципа ОИД переменных математических моделей. Совмещение математической терминологии с физическим принципом не противоречит, на наш взгляд, логике и законам природы. Формальным отображением принципа ОИД является действие на переменные/сигналы систем оператора Данное преобразование может отображать единство противоположностей операций дифференцирования и интегрирования на более высоком уровне обобщения понятий. В настоящее время нет формулировок физических законов, позволяющих использовать принцип ОИД в процессе составления исходных уравнений физических систем. Обсуждаемые смешанные системы обыкновенных дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений, дополненных операторами одновременного интегродифференцирования переменных, требуют обоснования как их основ в рамках математического анализа, так и принципов физического моделирования.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений /Н.Н. Лузин // Автоматика и телемеханика. – 1940. М.: АН СССР. – С. 3-66.

2. Максимов Б.В. Структурная декомпозиция систем автоматического управления /Б.В. Максимов // Науковий Вісник Чернівецького університету: Комп΄ютерні системи та компоненти. – 2010. –Т.1, Вип.1. – С. 46-50.

3. Максимов Б.В. Принцип одновременного интегродифференцирования /Б.В. Максимов // Труды тринадцатой международной научно-практической конференции «Современные информационные и электронные технологии» («СИЭТ-2012») 4 – 8 июня 2012г. – Одесса: Изд. центр «Политтехпериодика», 2012. – C. 129.



4. Тарасов В. Е. / В.Е. Тарасов. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.
УДК 621.3.01


Поділіться з Вашими друзьями:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   60


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка