Тема Застосування комбінаторних схем до обчислення ймовірностей



Скачати 199.27 Kb.
Дата конвертації26.10.2017
Розмір199.27 Kb.
ТипЗадача

Тема Застосування комбінаторних схем до обчислення ймовірностей

Мета: формування навичок використання комбінаторних схем при розв’язуванні задач на знаходження ймовірностей; закріплення та систематизація знань про комбінаторні задачі, основні поняття теорії ймовірностей та класичне означення ймовірності. Розвиток навичок побудови математичної моделі реального явища чи процесу, розвиток логічного мислення, розвиток уміння аналізувати та систематизувати матеріал. Виховання ретельності, уваги до деталей, зібраності.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання та наочність: ПК, проектор, довідникові матеріали, картки для рефлексії, мультимедійний супровід уроку, музичний фрагмент, м’яч.

Міжпредметні зв’язки: професійна діяльність, історія, українська мова, фізична культура.

Методи і прийоми: евристична бесіда, багаторазове повторення матеріалу та складання опорного конспекту за методом В. Ф, Шаталова, ігрові методи «Ланцюжок», «Футбол», математичний диктант.

План уроку.



І. Організаційний момент. Мотивація навчання.

Привітання. Перевірка присутніх. Огляд конспектів. Повідомлення теми уроку, плану роботи, мети та очікуваних результатів.



ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Відтворення розв’язування задачі №727 у формі гри «Ланцюжок»

Додаткове завдання з української мови – усна відповідь учня.

ІІІ. Актуалізація знань.

Повторення понять «подія, перестановка, розміщення, комбінація, ймовірність». Форма проведення – гра «Пресконференція»



ІV. Систематизація знань.

Складання схеми-конспекту за повтореними поняттями.



V. Формування та удосконалення навичок.

1) Усне фронтальне опитування.

2) Розв’язування задач. Форма проведення – гра «Футбол».


  1. Задача про ремонт

  2. Задача про футбол

  3. Задача про кульки (за наявності часу)

VІ. Перевірка засвоєння знань і вмінь

Математичний диктант із самоперевіркою



VІІ. Домашнє завдання.

Задача 740. Повторення основних понять за конспектом. Вибрати тему реферату.



VІІІ. Підсумок уроку.

Слово викладача. Мотивація оцінок.

Рефлексія.

Додаткові завдання (за наявності часу)

Повідомлення про цікаві факти з історії комбінаторики.



Конспект уроку.

«“А чи можна виміряти міру впевненості числом?” Звичайно, відповім я» З першого листа Блеза Паскаля до П’єра Ферма 28 листопада 1654 року



І. Організаційний момент.

Привітання. Оголошення теми, мети уроку та очікуваних результатів діяльності.



Викладач. (музична заставка)

Сьогодні займемося не математикою, а футболом.

Для створення футбольної команди потрібне джерело фінансування. Для цього створимо акціонерне товариство, до якого увійдуть усі учні групи, та я, як граючий тренер.

Діяльність. Перевірка присутніх.

Викладач. Для забезпечення підготовки команди та проведення матчів маємо створити матеріальну базу: стадіон, екіпірування команди тощо.

Діяльність. Огляд конспектів. Ознайомлення із роздатковим матеріалом, наочністю.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Викладач. Акціонерне товариство закрите, тож аби кого не приймаємо, маємо перевірити фінансову історію кожного претендента, тобто виконання домашнього завдання.

Діяльність. Перевірка розв’язування домашньої задачі. Форма проведення – усне фронтальне опитування за елементами і кроками розв’язування домашньої задачі. Один учень записує на дошці відповіді, викладач ставить питання всій групі.

Задача 727 (Бевз Математика 11)

Знайдіть імовірність того, що навмання вибране натуральне одноцифрове число а) є число 7; б) ділиться на 3.



Запитання до учнів

Перелічіть, які числа беремо до розгляду. (1, 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, 8, 9 – всього 9)

Чому не беремо число 0? (В умові вказано натуральні числа, число 0 одноцифрове, але не натуральне)

Якою буде кількість елементарних подій? (кількість елементарних подій 9 за кількістю названих чисел)

Якою буде кількість подій, що сприяють події А? Якою буде імовірність події А? (Події А сприяє одна подія «вибрали 7», тоді її ймовірність 1/9)

Якою буде кількість подій, що сприяють події В? Якою буде імовірність події В? (Події В сприяють події «вибрали 3, 6 ,9», тобто три події. Тоді її ймовірність 3/9 або 1/3)



Додаткове домашнє завдання. Вияснити, як правильно писати «імовірність»чи «ймовірність»

Допускаються обидва написання. Чергування й та і визначається милозвучністю. У більшості випадків пишемо й, коли попереднє слово закінчується на приголосний.
ІІ. Актуалізація знань.

Викладач. Набираємо команду гравців. Познайомимося з претендентами на місце в команді, вислухаємо їх представлення. Акціонери можуть задавати питання та уважно слухати претендентів, бо в кінці кастингу саме вони разом з тренером визначать «суму трансферу» - виставлять оцінку.

Діяльність. Індивідуальне опитування. Форма проведення – «захист поняття». Кілька учнів призначаються «захищати» основні поняття, що розглядаються на уроці. Ці учні мають представити поняття, дати означення та відповісти на питання учнів чи викладача. Оцінка (сума трансферу) виставляється колегіально учнями та викладачем одразу після відповіді.

Подія.

Що називають подією?

Що таке випробування?

Що таке сума подій? добуток подій?

Які види подій існують?

Подією називають явище, про яке точно можна сказати, відбулося воно чи не відбулося. Створення умов для настання події називають випробуванням. Наприклад, кидання монети – випробування, видання герба – подія.

Подія С є сумою подій А і В, якщо вона полягає в тому, що відбудеться або подія А, або подія В, або обидві одночасно.

Подія С є добутком подій А і В, якщо вона полягає в тому, що відбудеться і подія А, і подія В.

Події бувають масовими і одиночними, вірогідними, випадковими і неможливими, попарно несумісними і т д.

Перестановка.

Що називають перестановкою?

Як обчисти кількість перестановок?

Що називають п-факторіалом?

Як знайти 4!?

Навести приклади задач, що вимагають знаходження кількості можливих перестановок.



Перестановкою з п елементів називається будь-яка впорядкована множина з усіх п елементів. Кількість перестановок обчислюється за формулою , де п! – п-факторіал.

п-факторіалом називають функцію, яка кожному натуральному числу п ставить у відповідність добуток перших п натуральних чисел. Наприклад, щоб знайти 4! Треба помножити 1∙2∙3∙4=24 . 0! дорівнює 1.

Число перестановок треба знайти, коли, наприклад, знаходимо, скількома способами можна розставити 5 робітників на 5 місць, коли із кількох елементів обирають усі, але в певному порядку.

Розміщення.

Що називають розміщенням?

Чи накладаються обмеження на числа т і п?

Як обчислити кількість розміщень?

Навести приклади задач, що вимагають знаходження кількості можливих розміщень.

Розміщенням з п елементів по т називають будь-яку упорядковану підмножину з т елементів множини з п елементів. При цьому число т не більше п.

Кількість розміщень обчислюють за формулою .

Кількість розміщень знаходять тоді, коли із певної множини обирають не все елементи, і враховують порядок обраних елементів. Наприклад, скількома способами можна обрати із групи старосту та заступника.

Комбінація.

Що називають комбінацією?

Чи накладаються обмеження на числа т і п?

Як обчислити кількість комбінацій?

Навести приклади задач, що вимагають знаходження кількості можливих комбінацій.

Комбінацією з п елементів по т називають будь-яку неупорядковану підмножину з т елементів множини з п елементів. При цьому число т не більше п.

Кількість комбінацій обчислюють за формулою .

Кількість комбінацій знаходять тоді, коли із певної множини обирають не всі елементи, і не враховують порядок обраних елементів. Наприклад, скількома способами можна обрати із групи двох чергових.

Ймовірність.

Дати означення класичної ймовірності.

До яких подій можемо застосувати означення класичної ймовірності?

Які обмеження накладаються на число, що виражає ймовірність?

Чому дорівнює ймовірність вірогідної, неможливої події?

Чому дорівнює ймовірність суми подій? добутку подій?



Імовірність події дорівнює відношенню кількості подій, що сприяють настанню даної події, до загальної кількості можливих при даному випробуванні подій. Поняття ймовірності застосовується тільки до масових подій, які можна багаторазово відтворити.

Імовірність події змінюється у межах від 0 до 1 для випадкової події, для вірогідної дорівнює 1, для неможливої дорівнює 0.

Імовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей. Імовірність добутку подій дорівнює добутку ймовірностей


ІІІ. Систематизація знань.

Викладач. Команда набрана, тренувальна база створена, час виробити стратегію гри. Визначимо особливості та найефективніші ролі наших гравців: сполук, класичної ймовірності тощо.

Діяльність. Складання опорного конспекту. Евристична бесіда. Викладач ставить навідні питання, на основі відповідей учнів складається схема, яка будується на дошці та записується в зошит. Мета: відтворити ключові особливості розглядуваних понять.

Заповнюється таблиця



Поняття

Формула

Особливості

Перестановка



вся множина

впорядкована



Розміщення

, т≤п

підмножина

впорядкована



Комбінація

, т≤п

підмножина

невпорядкована



Ймовірність



Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Р(А∙В)=Р(А) Р(В)




ІV. Розв’язування задач.

Викладач. Маємо команду з визначеними амплуа гравців, маємо тренувальну базу. До проведення серйозного матчу команда має зігратися. Тож переходимо до тренування. Тренер дає пас, його треба перехопити та реалізувати, тобто відповісти на питання. Якщо гравець втратить пас, інший може перехопити м’яч.

Діяльність. Усне фронтальне опитування. Розв’язування усних задач. Форма проведення: «Футбол» - швидко відповідає той учень, що отримав м’яча від викладача.

  1. У пісні співається «Жили у бабусі два веселих гуся, один сірий, другий білий, два веселих гуся». Яка ймовірність того, що навмання обраний гусь буде:

а) сірим? 1/2

б) білим? 1/2

в) чорним? 0

г) веселим? 1

2. Яка сполука визначає скількома способами майстер може розставити 18 учнів на 18 робочих місць? Перестановка

3. Яка сполука визначає, скількома способами майстер може видати три різні інструменти 18 учням? Розміщення

4. Скількома способами майстер може призначити три однакові премії трьом учням із 18? Комбінація.

5. Подія А – Луговий буде клеїти шпалери у кабінеті 102, подія В – Гайдук буде клеїти шпалери у кабінеті 102. У чому полягає подія А+В? (хоч один із них працюватиме в кабінеті 102) У чому полягає подія АВ? (обидва точно працюватимуть у кабінеті 102)

6. На ремонт училища виходять 18 учнів групи, серед яких 12 працює якісно, а 6 допускають брак. Яка ймовірність того, що перший учень на ремонт 102 кабінету прийде вмілий і порядний? 12/18=2/3

7. В описаній ситуації яка ймовірність того, що всі три учні, що прийдуть на ремонт кабінету, будуть вмілими?

Дану задачу важко розв’язати усно. Для даного типу задач застосовують комбінаторні схеми.

Викладач. Команда готова до серйозних змагань. Суперником буде, звичайно ж, задача. До розвʼязку йдемо, як ведемо м’яч до воріт суперника: кожен новий крок розвʼязку здійснює окремий учень, котрий передає потім пас товаришу.

Діяльність. Розв’язування задач. Форма роботи «Ланцюжок».

Задача 1.

На ремонт училища виходять 18 учнів групи, серед яких 12 працює якісно, а 6 допускають брак. Яка ймовірність того, що всі три учні, що прийдуть на ремонт кабінету, будуть вмілими?



Розв’язування

1. Яка загальна кількість подій? кількість варіантів вибору 3 учнів із 18 загальної кількості.

2. Яка сполука визначає цю кількість? Беремо підмножину невпорядковану – комбінація

3. Яка кількість комбінацій із 18 по 3?

4. Які події будуть сприятливими? Вибір трьох учнів із 12 вмілих.

5. Як визначаємо кількість варіантів вибору? Як кількість комбінацій.

6. Чому дорівнює кількість комбінацій по3 із 6?

7. Яка кількість сприятливих подій? 10∙11 ∙2

8. Чому дорівнює ймовірність події: вибір 3 умілих учнів?

Викладач. Розв’яжемо дану задачу іншим способом, використовуючи комбінаторні правила добутку.


  1. Нехай подія А1 – вибір першого умілого учня. Яка її ймовірність? 12/18

  2. Нехай подія А2 – вибір другого умілого учня. Враховуючи, що одного уже забрали, маємо її ймовірність 11/17

  3. Нехай подія А3 – вибір третього умілого учня. Враховуючи, що двох умілих уже вибрали, то маємо її ймовірність рівну 10/16

  4. Як виразити подію «А – вибрали трьох умілих учнів» через названі події? Це буде добуток подій, оскільки має збутися кожна обов’язково.

  5. Як знаходимо ймовірність добутку подій? як добуток ймовірностей.

  6. Записати на дошці.

Задача 2.

У футбольній команді грають 7 гравців-вихованців клубу та 4 гравці запрошені. Яка ймовірність того, що з трьох голів за матч два забʼють вихованці клубу?



Розв’язування.

  1. Яка загальна кількість елементарних подій випробування «забили гол»? кількість елементарних подій визначається комбінацією три з одинадцяти n = .

  2. Подія «з трьох м’ячів два забито вихованцями» є простою? Ні.

  3. З яких подій вона складається? Два забили вихованці і один запрошений гравець.

  4. Як обчислюємо кількість елементарних подій, що сприяють події «два голи забили вихованці» ? обрати автора голу з вихованців можна за кількістю комбінацій два із семи , а автора третього голу – 4 способами. Тоді

  5. Записати на дошці обчислення

Задача 3.

В урні лежать 20 кульок, з яких 12 білих, решта — чорні. З урни навмання виймають три кульки. Яка ймовірність того, що серед вибраних дві кульки білі?


Розв'язання


  1. Яка загальна кількість елементарних подій? Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято три кульки) дорівнює n = .

  2. Яка кількість елементарних подій, які сприяють події «серед трьох вибраних кульок дві білі». Дві білі кульки із 12 білих кульок можна вибрати способами, а одну чорну куль­ку можна вибрати 8 способами, тоді події «серед трьох вибраних кульок дві білі» сприяють т = ·8 елементарних подій.

  3. Записати на дошці обчислення. Отже, якщо подія А — «серед трьох вибраних кульок дві білі», то



Відповідь: ·
V. Перевірка рівня засвоєння знань.

Викладач. Після закінчення чемпіонату проведемо діагностику: чи треба когось із гравців лікувати, чи потрібні комусь додаткові тренування.

Діяльність. Самостійна робота. Математичний диктант із самоперевіркою.

Математичний диктант (Кожна відповідь оцінюється у 1 бал. Самоперевірка за наведеним шаблоном)

1. Якщо треба визначити кількість варіантів вибору впорядкованої підмножини, використовують формулу для обчислення розміщень

2. 0! Дорівнює 1

3. Невпорядкована підмножина називається комбінацією

4. Перестановкою називається множина. Впорядкована

5. Імовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей

6. Відношення загальної кількості подій до кількості сприятливих даній подій називають класичною ймовірністю

7. Значення класичної ймовірності знаходиться в межах від0 до1 включно.

8. Імовірність вірогідної події дорівнює 1

9. Число перестановок із 3 елементів дорівнює 6

10. Імовірність того, що завтра йтиме дощ ½, імовірність того, що післязавтра йтиме дощ ½. Яка ймовірність того, що дві дні дощитиме? ¼
VІ. Домашнє завдання

Викладач. В результаті діагностики кожен побачив, на які питання треба звернути увагу – їх повторюємо додатково. Загальним завданням буде:…

Діяльність. Інструкції викладача до домашнього завдання. Записування завдання.

Повторити з конспекту поняття ймовірності, сполук без повторення та їх кількості, поняття події, їх види.

Розв’язати задачу № 740

З 10 металевих конструкцій дві високої якості. Знайдіть імовірність того, що серед взятих навмання пʼяти конструкцій тільки одна високої якості.



VІІ. Підсумок уроку.

Викладач. По закінченню футбольного сезону підводимо підсумки, аналізуємо діяльність та роздаємо бонуси. (Пояснити форму проведення рефлексії)

Діяльність. 1. Рефлексія. На аркуші зображено футбольне поле. Зобразити на полі м’яч, настільки близько до воріт, наскільки успішним вважає для себе учень урок.

2. Мотивація та виставлення оцінок.

Додаток 1. Картка для рефлексії


Множини

Множина – неозначуване поняття.

Георг Кантор (1845— 1918): «Множина є об'єднання об'єктів, що мислиться як єдине».



А= {а, в, с}

тут А – позначення множини, а, в, с – елементи множини. аА, еА. Множина { невпорядкована } – фігурні дужки.

Множина (впорядкована) – круглі дужки.

Порожня множина не містить жодного елемента

Задають множини: переліком елементів А= {2, 3, 4, 6} або характеристичною властивістю А= {а: 12÷а} (множина дільників 12)

Підмножина Якщо кожен елемент множини А міститься у множині В, то множина А називається підмножиною множини В.

А В (читається: А є підмножиною В, або А включається до В, або А міститься в В, або В включає в себе А, або В містить А).
Переріз множин Перерізом множин А і В називається множина, яка містить усі спільні елементи множин А і В, і тільки їх.

А В.

Об'єднання множин Об'єднанням множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів, які містяться хоч в одній з двох множин А, В і тільки їх.


A U В.

Різниця множин Різницею множин А і В називається множина всіх таких елементів множини А, які не містяться у множині В.


А\В.




1

Комбінаторика

Комбінаторні задачі – задачі, в яких треба визначити, скільки різних підмножин або впорядкованих підмножин можна утворити з елементів даної множини

Правило суми.

Якщо елемент деякої множини А можна вибрати т способами, а елемент множини В — п способами, то елемент з множини А або з множини В можна вибрати т + п способами.



Правило добутку

Якщо перший компонент пари можна вибрати т способами, а другий — п способами, то таку пару можна вибрати тп способами.

п-факторіал – добуток натуральних чисел від 1 до п.

п! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ …∙ п

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Рn.

Будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множи­ни, яка містить n елементів, де т n називається розміщенням з n елементів по т елементів.

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т елементів.


Трикутник Паскаля.






2
Теорія ймовірності

Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов.

Випробування — це умови, в результаті яких відбувається (чи не відбувається) подія.

Випадкова подія може відбутися або не відбутися.

Масові події можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Вірогідна подія обов'язково відбудеться.

Неможливою подія не може відбутися.

Попарно несумісні подіїце події, дві з яких не можуть відбуватися разом.

Рівноможливі події - кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу

Елементарною подією називають кожен можливий наслідок імовірнісного експерименту

Повною групою подій називається множина подій таких, що в результаті кожного випробування обов'язково повинна відбутися хоча б одна із них.

Якщо події:

1) утворюють повну групу подій;

2) є несумісними;

3) є рівноможливими, то такі події утворюють простір елементарних подій Ω (омега)

Якщо простір елементарних подій для деякого випробування складається з п рівноможливих несумісних подій, то ймовірність кожної з них дорівнює Р(А)=1/п

Класичне означення ймовірності

Ймовірністю випадкової події А називають відношення кількості елементарних подій т, сприятливих для події А, до кількості всіх рівно можливих і попарно несумісних елементарних подій, які утворюють простір подій для даного випробування

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В)

Статистичне означення ймовірності

Якщо в п випробування подія А відбувається т разів, то відносна частота події А дорівнює т/п . Якщо коли , то р називають статистичною ймовірністю події.








Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка