Та різницеві рівняння



Дата конвертації26.12.2017
Розмір0.55 Mb.
ТипЗадача

Розділ 8

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ
ТА РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ

Диференціальні та різницеві рівняння застосовують для описування динамічних процесів.

У задачах природознавства і економіки часто доводиться відшукувати функцію на підставі співвідношення між цією функцією та її похідними .

Це співвідношення називається звичайним диференціальним рівнянням. Аналогічно, при пошуку функції спочатку складається рівняння для функції f(х) та її різниць



це співвідношення називається різницевим рівнянням.

Різницеві рівняння найчастіше зустрічаються в економічних задачах.

У цьому розділі викладені загальні методи розв’язування диференціальних та різницевих рівнянь.


  • Тема 8.1

  • Диференціальні
    рівняння першого порядкУ


8.1.1. Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд



Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо позначення ДР.



Приклад. ДР першого порядку; — ДР другого порядку; — ДР третього порядку.Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними

має розв’язок





який називається функцією Кобба—Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням

(8.1)

Це — ДР рівняння, що не розвязане відносно похідної. Якщо рівняння (8.1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у вигляді

. (8.2)

Це ДР рівняння, що розв’язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді або .

Якщо є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

(8.3)

Означення. Розвязком ДР називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР

і має розв’язок



який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

Приклад. ДР має розв’язок .

 Справді, . Підставивши в рівняння, дістанемо тотожність

Звичайно, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, попереднє рівняння має розв’язок , де С — довільний параметр.

8.1.2. Задача Коші

Розглянемо ДР .



Означення. Задача пошуку розв’язку , що задовольняє умови

при (8.4)

називається задачею Коші. Умови (8.4) називаються початковими умовами, числа називаються початковими значеннями.


  1. Теорема існування та єдиності розв’язків


Нехай функція неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:

(8.5)

тоді при існує єдиний розв’язок ДР, який задовольняє початкові умови (8.4) .

Якщо в області D виконуються умови теореми існування та єдності, то через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива. Задача Коші полягає у знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку .

Умови (8.5) можна замінити іншою умовою:



(8.6)

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв’язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку



то точка є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 8.1).

Рис. 8.1


Приклад. Розглянемо ДР яка має особливу (0; 0). Розв’яжемо ДР

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

Розглянемо ДР .

Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розвязком ДР, якщо функція
є розв’язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами,
тобто рівняння розв’язується відносно С. Розв’язок при фіксованому значенні сталої С називається частинним розвязком.

Приклад. ДР має загальний розв’язок

 Справді, маємо тотожність:



При довільних початкових значеннях , знаходимо значення довільної сталої С



Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загаль­ний розв’язок називається розвязком у формі Коші.



Приклад. ДР має розв’язок у формі Коші.

Означення. Задача знаходження розв’язків ДР називається інтегруванням ДР. Самий розв’язок називається також інтегралом ДР. Назва пояснюється розв’язуванням найпростішого ДР

Загальний розв’язок може бути знайдений у неявній формі: Тоді ця рівність називається інтегралом ДР. Функ-


ція також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР подається неявним рівнянням то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв’яжемо диференціальне рівняння



Рівняння можна записати у вигляді



Звідси знаходимо інтеграл ДР

Розглянемо детальніше питання про особливі розв’язки. Точки, в яких існує не єдиний розв’язок ДР можуть бути точками розриву функцій а також точками, в яких загальний інтеграл ДР не розв’язуваний відносно с, тобто Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають дискримінантними кривими.

Приклад. Розв’яжемо ДР

 Його можна записати у вигляді



ДР має загальний інтеграл і загальний розв’язок

Шукаємо особливі розв’язки з умови

Знаходимо

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти
з умови, що частина похідна має розрив при
y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 8.2.

Рис. 8.2


Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

Приклад. ДР має загальний розв’язок і загальний інтеграл

З умови знаходимо дискримінантну криву


х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР зображено на рис. 8.3.

Рис. 8.3


8.1.3. Сім’я кривих

Означення. Множина кривих, залежних від параметра, називається сімєю кривих. Нехай сім’я кривих описується рівнянням Якщо виключимо С із системи рівнянь

, (8.7)

то дістанемо ДР сім’ї кривих.



Приклад. Розглянемо множину прямих, що проходять через початок координат (рис. 8.4).

Рис. 8.4


Виключимо параметр С із системи рівнянь

Дістанемо ДР Це рівняння має особливу точку (0, 0).

Задачу інтегрування ДР пер­шого порядку можна розглядати як задачу пошуку рівняння сім’ї кривих за ДР, яке описує цю сім’ю.

Для наближеного знаходження сім’ї інтегральних кривих використовується графічний метод. ДР першого порядку задає


кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої в кожній точці (х, у).

Якщо в кожній точці (х, у) визначений напрям деякого век­тора, то кажуть, що задано поле напрямів. ДР задає поле напрямів дотичних. Ці лінії, на яких дотичні мають однаковий нахил, називаються ізоклінами. Рівняння ізоклін Побудував­ши графіки ізоклін, можна наближено провести інтегральні криві.



Приклад. Побудуємо графічно сім’ю інтегральних кривих для ДР

 Ізокліни мають рівняння Побудуємо гра­фіки ізоклін і проведемо наближено інтегральні криві (рис. 8.5).

Загальний розв’язок рівняння має вигляд

Рис. 8.5


8.1.4. Наближені методи розв’язування

Для чисельного знаходження інтегральної кривої, що проходить через задану точку , існує багато методів. Найпростіший метод запропонував Л. Ейлер.

Вводимо дискретні значення аргументу х.

Параметр h називається кроком дискретизації, або кроком інте­грування. У точці інтегральна крива замінюється дотичною з кутовим коефіцієнтом Підставивши знаходимо із рівняння наближене значення у1 змінної у:

Аналогічно знаходимо наближено точки на інтегральній кривій за формулою:

(8.8)

Ця формула називається чисельним методом інтегрування Ейлера.

Існують і точніші методи:





,

(8.9)

де

Формули (8.9) називаються екстраполяційними методами Адамса.

Наведемо точніші формули, якими подаються інтерполяційні методи Адамса:









(8.10)

Через R позначено похибку чисельного методу, де — похідна k-го порядку точного розв’язку ДР.



Найчастіше на практиці користуються методами типу РунгеКутта. Наведемо один із найчастіше використовуваних методів РунгеКутта, який має похибку ,

(8.11)



Приклад. Знайдемо чисельний розв’язок ДР за методом Ейлера (8.8), Адамса (8.9), Рунге—Кутта (8.11) при
h = 0,2.

Розв’язок наведено у вигляді таблиці.


  1. Таблиця 8.1


х0Метод ЕйлераМетод АдамсаМетод
Рунге—КуттаТочний розв’язок0.01.000001.000001.000001.000000.11.100001.10500—1.105170.21.210001.221151.221401.221400.31.331001.34977—1.349860.41.464101.491741.491821.491820.51.610511.64861—1.648720.61.771561.821991.822111.822120.71.948722.01361—2.013750.82.143592.225372.225522.225540.92.357952.45941—2.459601.02.593742.718062.718252.71828
Інший спосіб знаходження наближеного розвязку полягає у застосуванні розкладу шуканого розвязку за відомими функціями. У частинному випадку розвязок можна шукати у вигляді степеневого ряду.

Приклад. Шукаємо розв’язок ДР у вигляді степеневого ряду

 Підставивши ряд у ДР та враховуючи початкові умови, діста­немо систему рівнянь


із якої знаходимо шуканий розв’язок ДР:

Ефективним методом побудови наближеного розв’язку ДР є метод Пікара. ДР зводимо до інтегрального рівняння. Для цього ДР інтегруємо:



а потім розв’язуємо методом послідовних наближень:





Приклад. Розв’язати ДР

 Розв’язуємо інтегральне рівняння методом послідовних наближень:



.

Переходячи до границі при , дістаємо розв’язок у вигляді ряду .



8.1.5. Диференціальне рівняння з відокремленими
та відокремлюваними змінними.


Означення. ДР виду

(8.12)

називається ДР з відокремленими змінними. Загальний розв’язок ДР подається так:



(8.13)

а розв’язок задачі Коші з початковими умовами має вигляд



(8.14)

ДР з відокремленими змінними зводиться до квадратури, тобто до знаходження інтегралів.



Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

 Інтегруючи, дістаємо інтеграл ДР

Інтегральними кривими є концентричні кола з центром у почат­ку координат.

Означення. Диференціальне рівняння виду

(8.15)

називається ДР з відокремлюваними змінними, тобто рівнянням, що зводяться до ДР з відокремленими змінними.

Поділивши рівняння (8.15) на дістанемо ДР з відокремленими змінними:

(8.16)

Рівняння (8.15) має розв’язок де є розв’язками рівнянь

Аналогічно ДР виду

(8.17)

є ДР з відокремлюваними змінними. Рівняння (8.17) можна записати у вигляді (8.12):



(8.18)

Рівняння (8.17) має розв’язок виду де



Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

 Запишемо рівняння у вигляді



або




8.1.6. Однорідне диференціальне рівняння

Означення. Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді

(8.19)

Воно за допомогою заміни змінної зводиться до ДР з відокремлюваними змінними а знаходження розв’язку зводиться до квадратур



Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР .

 Узявши , дістанемо ДР і його загальний розв’язок



Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР .

 Візьмемо і одержимо ДР для змінної



.

Інтегруючи ДР з відокремленими змінними, знаходимо загальний розв’язок:

Однорідне ДР не змінюється при перетворенні подібності:

(8.20)

ДР перетворюється на ДР .

При перетворенні подібності (8.20) інтегральні криві рівняння (8.19) знову переходять в інтегральні криві рівняння (8.19). Усі інтегральні криві однорідного ДР подібні з центром подібності в початку координат. Якщо будь-яка інтегральна крива, що лежить в деякому секторі, входить у початок координат, то всі інтегральні криві в цьому секторі теж входять у початок координат. Якщо одна із інтегральних кривих замкнена, то всі інтегральні криві замкнені.

Приклад. Побудуємо інтегральні криві однорідного ДР

 Скориставшись заміною дістанемо ДР:




  • Рис. 8.6

Остаточно знаходимо інтеграл ДР:

Інтегральні криві є колами, що прохо­дять через початок координат (рис. 8.6). Усі інтегральні криві замкнені і входять у початок координат.


8.1.7. Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Означення. Диференціальне рівняння або

(8.21)

називається ДР у повних диференціалах. Це ДР має інтеграл



(8.22)

ДР виду


(8.23)

є ДР у повних диференціалах, якщо виконується тотожність



(8.24)

При цьому знаходимо функцію із рівнянь



(8.25)

В окремому випадку можна скористатись формулою



(8.26)

Значення можуть бути довільними числами.

Розв’язок задач Коші з початковими умовами визначається рівнянням де подається формулами (8.26).

Приклад. Розв’яжемо ДР .

 Перевіримо спочатку виконання умови (8.24):



.

Умова (8.24) виконується, і знаходимо функцію із рівнянь (8.26). При маємо

Отже, ДР має інтеграл

Л. Ейлер довів, що для будь-якого ДР першого порядку



для якого не виконується умова (8.24), існує інтегрувальний множ­ник такий, що ДР є ДР у повних диференціалах. Із умови виду (8.24)



(8.28)

шукаємо інтегрувальний множник , а потім інтегруємо рівняння (8.27).



Приклад. Знайдемо інтегрувальний множник для ДР

.

 Маємо:

Умова (8.24) не виконується. Розглядуване ДР не є рівнянням у повних диференціалах. Складемо рівняння (8.28).

Припустимо, що інтегрувальний множник  залежить тільки від х. Дістанемо рівняння До-


множимо початкове ДР на х і дістанемо рівняння в повних диференціалах: , яке легко зінтегрувати:



8.1.8. Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Диференціальні рівняння виду

(8.29)

називається лінійним ДР. Якщо , то ДР є однорідним. Якщо , то ДР називається неоднорідним.

Однорідні рівняння інтегруються у квадратурах, як ДР із відокремленими змінними:

,
.

Нехай відомий частинний розв’язок неоднорідного ДР.

Шукаємо загальний розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .

Оскільки виконується тотожність , то для відшукання z маємо однорідне ДР

Отже, справджується така теорема:

Теорема 1. Загальний розв’язок неоднорідного лінійного ДР дорівнює сумі частинного розв’язку неоднорідного ДР і загального розв’язку однорідного ДР.

Приклад. Лінійне ДР.



має частинний розвязок Однорідне ДР має загальний розвязок . Загальний розвязок неоднорідного ДР дорівнює сумі

Звичайно використовують такі три методи розв’язування лінійного неоднорідного ДР.



І. Метод Бернуллі.

Розв’язок ДР (8.29) шукаємо у вигляді добутку двох функцій Підставляючи, дістаємо рівняння

Зведемо це рівняння до системи ДР:

Із першого рівняння знаходимо змінну v:



Із другого рівняння знаходимо змінну u:



Остаточно маємо розв’язок у вигляді



(8.30)

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

 Розв’язок шукаємо у вигляді добутку функцій Підставляючи, дістаємо рівняння



Зведемо це рівняння до системи ДР:



Із першого рівняння знаходимо:





Із другого рівняння маємо:



Знаходимо розв’язок:





ІІ. Метод Ейлера.

Домножуємо рівняння (8.29) на інтегрувальний множник Дістаємо ДР

Нехай ДР набирає вигляду:

.

Остаточно приходимо до розв’язку виду (8.30):





Приклад. Знайдемо розв’язок ДР

 Помножимо ДР на інтегрувальний множник μ:



і візьмемо При цьому дістанемо ДР:



Знайдемо інтегрувальний множник з ДР:





Початкове лінійне ДР набирає вигляду і має загальний розв’язок


  1. ІІІ. Метод Лагранжа

Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР.
У загальний розв’язок входять довільні сталі. Потім шукається загальний розв’язок неоднорідного ДР і при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.

Шукатимемо розв’язок неоднорідного ДР (8.29).

Спочатку розв’яжемо однорідне ДР . Загальний розв’язок має вигляд . Шукаємо розв’язок неоднорід­ного ДР у вигляді Підставляючи в ДР (8.28), дістаємо рівняння

.

Приходимо до простого ДР



і загального розв’язку неоднорідного ДР виду (8.30):



Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.



Приклад. Знайдемо за методом Лагранжа розв’язок неоднорід­ного лінійного ДР

 Спочатку знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР:

Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .

Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо



або


Використаємо формулу інтегрування частинами:



Отже, остаточно дістанемо загальний розв’язок ДР:





До лінійного ДР зводиться ДР Бернуллі



Вводиться нова змінна , і ДР для z набирає вигляду ДР





8.1.9. Зниження порядку деяких
диференціальних рівнянь другого порядку

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд



Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі:



(8.32)

і за рахунок вибору довільних сталих можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку , що задовольняє початкові умови

Для ДР другого порядку частіше зустрічається на практиці крайова задача, коли умова на шуканий розв’язок задається при різних значеннях аргументу.

У деяких випадках можна знизити порядок ДР другого порядку (8.31) і звести до ДР першого порядку.

І. У ДР відсутня шукана функція. ДР виду

(8.33)

зводяться до ДР першого порядку, якщо візьмемо Дістанемо ДР першого порядку



(8.34)

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння то дістанемо

Якщо ДР другого порядку має вигляд то беремо і дістаємо ДР першого порядку з відокремлюваними змінними:



Приклад. Розв’яжемо ДР другого порядку

 При дістанемо ДР першого порядку:





Знайдемо загальний розв’язок ДР другого порядку:





Приклад. Розв’яжемо ДР

 Вважаючи, що знижуємо порядок і приходимо до ДР першого порядку:





Інтегруючи z, дістаємо загальний розв’язок ДР другого порядку:



ІІ. ДР не містить явно аргументу. Порядок ДР



(8.35)

можна знизити, якщо за нову незалежну змінну візьмемо у, а за нову залежну змінну —

Дістаємо рівність:

Остаточно приходимо до ДР першого порядку

Якщо знайдемо загальний розв’язок цього рівняння, то для пошуку загального розв’язку ДР (8.36) дістанемо рівняння:

.

Якщо ДР другого порядку має вигляд то приходимо до ДР першого порядку з відокремлюваними змінними:

Визначивши знаходимо у з ДР першого порядку



Приклад. Знайти загальний розв’язок ДР другого порядку

 Узявши дістанемо і прийдемо до ДР першого порядку .

Знаходимо змінну і приходимо до ДР першого порядку розв’язуючи яке, дістаємо:

ІІІ. ДР є однорідним відносно шуканої функції та її похідних, тобто



(8.36)

В однорідному рівнянні другого порядку узявши



(8.37)

прийдемо до ДР першого порядку виду

Якщо знайдено загальний розв’язок цього ДР то далі маємо:



Приклад. Знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР

 Використовуючи заміну (8.37), приходимо до ДР першого порядку



звідки Із ДР знаходимо загальний роз­в’язок



8.1.10. Диференціальне рівняння n-го порядку

У загальному випадку ДР n-го порядку має вигляд



Загальний розв’язок ДР залежить від n довільних сталих і має вигляд



Задача Коші полягає у знаходженні частинного розв’язку y(x), що задовольняє початкові умови:



де — наперед задані значення.

Деякі ДР можуть бути зінтегровані в квадратурах, тобто знаходження загального розв’язку зводиться до інтегрування відомих функцій.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР третього порядку

 Позначивши дістаємо ДР першого порядку розв’язуючи яке маємо:



Беручи приходимо до ДР першого порядку яке інтегрується, у квадратурах:

Остаточно знаходимо загальний розв’язок:

Для знаходження частинного розв’язку задаємо початкові умови:



З попередніх рівнянь знаходимо і отримуємо частинний розв’язок ДР третього порядку:



Аналогічно може бути розв’язане ДР n-го порядку виду



З рівняння знайдемо а далі зінтегруємо рівняння за х.


  • План семінарських занять


1. Диференціальні рівняння. Загальний і частинний розв’язок.

2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлю­ваними змінними. Однорідні рівняння.

3. Диференціальні рівняння в повних диференціалах. Лінійні диференціальні рівняння.

4. Зниження порядку диференціальних рівнянь другого порядку.



Чисельне розв’язування диференціальних рівнянь.
  • Термінологічний словник ключових понять


Частинний (загальний) розвязок диференціального рівняння розв’язок диференціального рівняння, що не містить (містить) довільної сталої.

Задача Коші — задача пошуку розв’язку із заданими початковими умовами (8.4).

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними — рівняння, в якому можна відокремити змінні (8.12).

Диференціальні однорідні рівняння — рівняння першого порядку з однорідною правою частиною (8.19).

Диференціальні рівняння в повних диференціалах — диференціальні рівняння, що визначаються повним диференціалом деякою функ-
цією (8.21).

Лінійні диференціальні рівняння — рівняння лінійно залежить від невідомої функції і її похідної (8.29).
  • Навчальні завдання


1. Знайти ортогональні траєкторії гіпербол

 Складемо ДР сім’ї гіпербол. Виключимо С з рівняння Диференціюємо рівняння за х:



Для ортогональних ліній Приходимо до ДР:



.

Знаходимо сім’ю ортогональних ліній



2. Знайдемо закон розпаду радіоактивної речовини.

 Позначимо через масу радіоактивної речовини. За час розпадається кількість речовини пропорційна до маси

Рис. 8.4

і часу , тобто або При знаходимо ДР з відокремленими змінними:

При t = 0 дістаємо: m (0) = C, .

Маємо експоненціальний закон розпаду радіоактивної речовини.

3. Знайдемо розв’язок однорідного ДР .

ДР можна записати у вигляді , .

Вводимо нову змінну , y = ux:

, ,

, ,

, , .

4. Знайдемо розв’язок ДР у повних диференціалах.

, , .

Рівняння можна подати у вигляді .

Звідси знаходимо інтеграл ДР .



5. Розв’яжемо лінійне ДР з початковими умовами х0 = 1, у0 = 1:

.

 1. Шукаємо розв’язок за методом Бернуллі:



Зводимо рівняння до системи ДР:





2. Знайдемо розв’язок за методом Лагранжа. Розв’яжемо однорідне рівняння:



, , , , .

Розв’язок неоднорідного ДР шукаємо у вигляді :



, , .

Загальний розв’язок має вигляд .

3. Розв’яжемо ДР за методом Ейлера. Помножимо рівняння на інтегрувальний множник :

. Нехай , , , .

Дістанемо ДР у повних диференціалах



, , , .

Маючи загальний розв’язок, знаходимо частинний розв’язок, що задовольняє початкові умови:



, ; 1 + С = 1, С = 0, у = х.

6. Знайдемо розв’язок ДР Бернуллі , .

 Візьмемо , , .

Знайдемо розв’язок лінійного ДР за методом Бернуллі. Нехай

Записуємо систему ДР:



,

, , , , .

Остаточно маємо шуканий розв’язок: .


  • Реферати


1. Класифікація особливих точок ДР першого порядку: вузол, фокус, центр, сідло.

2. Інтегрувальний множник однорідного ДР.



3. Теореми існування розв’язків ДР.
  • Завдання для перевірки знань


Розв’язати диференціальні рівняння:

1. . Відповідь. .

2. . Відповідь. .

3. ; при .

Відповідь. .

4. . Відповідь. .

5. . Відповідь. .

6. . Відповідь.

7. . Відповідь. .

8. . Відповідь. .



Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка