Робоча програма навчальної дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика»



Скачати 265.42 Kb.
Дата конвертації13.10.2018
Розмір265.42 Kb.
ТипРобоча програма

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
Механіко-математичний факультет

Кафедра теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики



«ЗАТВЕРДЖУЮ»

Заступник декана


з навчальної роботи


__________Безущак О.О.

«____»__________2017 року



РОБОЧА ПРОГРАМА НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ



«Теорія ймовірностей та математична статистика»

для студентів


галузь знань 11 математика та статистика

спеціальність 112 статистика

освітня програма механіка


          1. КИЇВ – 2017

Робоча програма дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» для студентів галузі знань знань/спеціальності/освітньої програми 11 математика та статистика / 112 статистика / статистика.

механіка.
«____» ______________ 2017 року – ___с.
Розробник: доктор фіз.-мат. наук, професор Моклячук Михайло Павлович
Робоча програма дисципліни «Теорія ймовірностей та математична статистика» затверджена на засіданні кафедри теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики
Протокол № 10 від “20” квітня 2017 року
Завідувач кафедри _____________________ (Ю.С. Мішура)

“24” квітня 2017 року

Схвалено науково - методичною комісією механіко-математичного факультету

Протокол від “24” квітня 2017 року № 9


Голова науково-методичної комісії ____________________ (Курченко О.О.)
“_____” 2017 року

© Моклячук М.П., 2017



Вступ

Навчальна дисципліна «Теорія ймовірностей та математична статистика» є складовою освітньої програми підготовки фахівців за освітнім рівнем «бакалавр» у галузі знань



11 математика та статистика зі спеціальності 112 статистика / статистика.

Дана дисципліна є обов’язковою.

Викладається у 7 семестрі в обсязі 162 год. (4,5 кредити ECTS), зокрема: лекції – всього 42 години, практичні заняття – 14 годин,, самостійна робота – 82 годин. У курсі передбачено 2 змістових модулі та 2 модульні контрольні роботи. Завершується дисципліна іспитом.
Мета дисципліни – основними поняттями теорії ймовірностей такими як випадковий експеримент, випадкові події, елементарні випадкові події, випадкові величини, функції розподілу та щільності розподілу випадкових величин, незалежність та залежність випадкових подій та випадкових величин, добре розуміти основні теоретико-ймовірнісні закономірності (закони великих чисел, центральна гранична теорема), оволодіти основними поняттями теорії випадкових процесів, добре оволодіти основними поняттями математичної статистики (такими як статистичний простір, вибірка, функція вірогідності, кратна вибірка, статистика, точкова та інтервальна оцінка, властивості оцінок, статистичний критерій, рівень та потужність критерію), засвоїти основні методи статистичного оцінювання та перевірки гіпотез (непараметричні методи, метод моментів, незміщене оцінювання, метод максимальної вірогідності, критерії хі-квадрат, метод найменших квадратів)
Завдання – створення необхідної теоретичної бази для подальшого більш поглибленого вивчення даної та пов’язаних з нею дисциплін та застосування одержаних знань при розв’язанні практичних задач..
Предмет навчальної дисципліни включає:

основні поняття і аксіоми теорії ймовірностей, імовірнісні простори та їx приклади, умовні ймовірності, незалежні події та елементарні імовірнісні формули, дискретні випадкові величини, загальне означення випадкової величини, розподіли випадкових величин, математичне сподівання випадкової величини, випадкові величини другого порядку, випадкові вектори, незалежність випадкових величин, збіжність випадкових величин, закон великих чисел, збіжність майже напевне та посилений закон великих чисел, збiжнicть випадкових величин за розподілом, характеристичні функції, центральна гранична теорема, статистичний простір, вибірка, кратна вибірка, функція вірогідності, поняття статистики, оцінки, властивості оцінок, незміщеність, конзистентність, емпірична функція розподілу, її властивості, порядкові статистики, варіаційний ряд, теоретичні та емпіричні кванти лі, теоретичні та вибіркові моменти, оцінювання параметрів розподілу методом моментів, незміщені оцінки з мінімальною дисперсією, ефективність, достатні статистики, оцінки максимальної вірогідності, інтервальні оцінки параметрів нормальної вибірки, статистична гіпотеза та альтернатива, статистичний критерій, критична область, похибки першого та другого роду, рівень та потужність критерію, непараметричні критерії, перевірка гіпотез про параметри нормальних спостережень, критерії хі-квадрат узгодженості, однорідності, незалежності, метод найменших квадратів для лінійної регресії, випадкові процеси з незалежними приростами, гаусівські процеси, процес броунівського руху, вінерівський процес, оптимальний прогноз стаціонарних послідовностей, теорема Карунена про спектральне зображення стаціонарної послідовності.


Вимоги до знань та вмінь.

Студент повинен знати: основні поняття і аксіоми теорії ймовірностей, вміти будувати ймовірнісні простори. Володіти поняттями умовних ймовірностей, незалежних подій та елементарними ймовірнісними формулами, Вміти застосовувати поняття дискретних величин, загальних випадкових величин, розподілів випадкових величин. Володіти поняттями математичного сподівання випадкової величини, випадкових величини другого порядку, випадкових векторів, незалежності випадкових величин.

Знати види збіжності випадкових величин. Вміти застосувати закон великих чисел, посилений закон великих чисел. Володіти поняттями з6iжності випадкових величин за розподілом, характеристичної функції. Вміти формулювати та застосувати центральну граничну теорему.

Знати основні поняття і методи математичної статистики, вміти будувати статистичні простори. Володіти поняттями вибірка, кратна вибірка, функція вірогідності, статистика. Вміти застосовувати поняття емпіричної функції розподілу, порядкових статистик, варіаційного ряду, вектора рангів. Володіти поняттями теоретичних та емпіричних квантилей, теоретичних та вибіркових моментів.

Студент повинен вміти: будувати оцінки методом моментів, незміщені ефективні оцінки, оцінки параметрів достатніх статистик, оцінки максимальної вірогідності, інтервальні оцінки параметрів нормальних спостережень, оцінки методу найменших квадратів для параметрів лінійної регресії. Володіти поняттями статистичної гіпотези та альтернативи, статистичного критерію, критичної області, похибок першого та другого роду, рівня та потужності критерію. Вміти застосовувати непараметричні критерії, критерії для параметрів нормальних спостережень, критерій хі-квадрат для узгодженості, однорідності, незалежності.

Вміти використовувати як моделі на практиці стаціонарні процеси другого порядку, випадкові процеси з незалежними приростами.


Місце в структурно-логічній схемі спеціальностей.

Нормативна навчальна дисципліна “Теорія ймовірностей та математична статистика” є базовою складовою циклу професійної підготовки фахівців освітнього рівня “бакалавр” спеціальності “механіка”.



та є основною для вивчення таких нормативних дисциплін, як “Макроекономіка” та “Актуарна математика”.


Система контролю знань.

Навчальна дисципліна “Теорія ймовірностей, випадкові процеси та математична статистика” оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Дисципліна складається з двох змістових модулів.

Результати навчальної діяльності студентів в семестрі оцінюється за 100 – бальною шкалою. Підсумковий контроль за семестр складається з суми балів, які отримав студент за роботу протягом семестру. Максимальна кількість балів дорівнює 60, мінімальна - 35. При складанні заліку студент може отримати 40 балів.
Форми поточного контролю: оцінювання домашніх робіт, самостійних завдань та контрольних робіт, виконаних студентами під час практичних занять.
Модульний контроль:

1-й змістовий модуль: 0-40 балів

робота під час практичних занять – 0-2 бали

виконання домашніх завдань – 0-14 балів

виконання самостійних робіт – 0-4 бали

модульна контрольна робота – 0-20 балів

2-й змістовий модуль: 0-20 балів

робота під час практичних занять – 0-2 бали

виконання домашніх завдань – 0-14 балів

виконання самостійних робіт – 0-4 бали


Залік:

2 теоретичні питання - 0-10 балів за кожне

2 задачі –0-7 балів за кожну

Усна відповідь – 0-6 балів



Всього – максимум 40 балів
При простому розрахунку отримаємо:





Змістовий модуль 1

Змістовий модуль 2

Залік

Підсумкова оцінка

Мінімум

18

17

25

60

Максимум

30

30

40

100

Для студентів, які набрали сумарно меншу кількість балів ніж критично-розрахунковий мінімум – 35 балів для одержання заліку обов’язкова перездача модульної контрольної роботи або підготовка додаткового реферату.

У випадку відсутності студента з поважних причин відпрацювання та перездачі МКР здійснюються у відповідності до «Положення про порядок оцінювання знань студентів при кредитно-модульній системі організації навчального процесу» від 1 жовтня 2010 року.



При цьому, кількість балів:

  • 1 - 34 відповідає оцінці «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням дисципліни;

  • 35 - 59 відповідає оцінці «незадовільно» з можливістю повторного складання;

  • 60 - 64 відповідає оцінці «задовільно» («достатньо»);

  • 65 - 74 відповідає оцінці «задовільно»;

  • 75 - 84 відповідає оцінці «добре»;

  • 85 - 89 відповідає оцінці «добре» («дуже добре»);

  • 90 - 100 відповідає оцінці «відмінно».



Шкала відповідності


За 100 бальною шкалою

Оцінка за національною шкалою

90 -100

5

відмінно

85 – 89

4

добре

75 – 84

65 – 74

3

задовільно

60 – 64

35 – 59

2

незадовільно

1 – 34



Правила та умови поточного, модульного та семестрового контролю
Поточний контроль. При поточному контролі оцінюється активність студента на заняттях і виконання ним самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу, виконання аудиторних і домашніх завдань).

Письмові роботи. Аудиторна письмова робота полягає в самостійному виконанні студентом завдань отриманого білета протягом обмеженого часу в присутності не менше ніж одного викладача.

Тривалість аудиторної письмової роботи, кількість завдань, їх типи та кількість балів за кожне завдання затверджуються на засіданні кафедри та оголошуються студентам заздалегідь.

Якщо хоча б одне завдання білета передбачає відтворення теоретичного матеріалу, то студенту під час аудиторної письмової роботи дозволяється користуватися винятково власними знаннями та забороняється використання будь-яких зовнішніх джерел інформації та засобів комунікації (конспектів, підручників, посібників, електронних пристроїв, зокрема мобільних телефонів, смартфонів і навушників, та ін.), передавання чи отримання будь-яких предметів та будь-яке спілкування з іншими особами за винятком викладача, який проводить аудиторну письмову роботу, виключно для уточнення формулювання завдань.

Якщо завдання білета не передбачають відтворення теоретичного матеріалу, то студенту під час аудиторної письмової роботи дозволяється користуватися винятково власними знаннями та паперовими джерелами інформації (конспектами, підручниками, посібниками тощо) та забороняється використання будь-яких засобів комунікації й електронних пристроїв (зокрема мобільних телефонів, смартфонів і навушників), передавання чи отримання будь-яких предметів та будь-яке спілкування з іншими особами за винятком викладача, який проводить аудиторну письмову роботу, виключно для уточнення формулювання завдань.

Після отримання білету студент має негайно заповнити його поля (група, прізвище та ім’я, дата проведення). В момент вичерпання відведеного на роботу часу викладач робить про це оголошення. Після нього студент зобов’язаний негайно припинити виконання письмової роботи та здати її викладачу, який проводить аудиторну письмову роботу. Також студент може здати свою

письмову роботу в будь-який момент відведеного на неї часу.

Студент, який порушив ці правила, зобов’язаний негайно здати свою письмову роботу із заповненими полями білету (група, прізвище та ім’я, дата проведення) й одразу залишити аудиторію, в якій проводиться письмова робота. Викладач, який виявив порушення, робить відмітку про це порушення та ставить 0 балів за дану письмову роботу,.

Після завершення письмової роботи викладач перевіряє правильність виконання завдань, виставляє бали за кожне завдання у таблицю результатів, ознайомлює студента з отриманими балами, інформує про допущені помилки. Після цього викладач виставляє остаточну оцінку за дану письмову роботу.

Викладач створює рівні умови для всіх студентів, які виконують письмову роботу, згідно з цими правилами.

Додаткові бали. Студент може отримати додаткові бали за правильне розв’язання задач підвищеної складності при поточному та модульному контролях. При цьому додаткові бали за письмові роботи не можуть перевищувати 25% від максимальної кількості балів за дану роботу. Додаткові бали додаються до суми балів за змістові модулі, теми яких входять до поточного семестрового контролю. Якщо отримана сума перевищує максимально можливу кількість балів за ці змістові модулі, то різниця цієї суми та даної максимальної кількості додається до балів, отриманих за семестровий контроль.

Умови допуску до семестрового контролю. У разі недопуску до семестрового контролю студент отримує право один раз перескласти всі види письмового модульного контролю. Бали, отримані раніше за певний вид модульного контролю, при його перескладанні анулюються.

Семестровий контроль. Семестровий контроль складається з письмової та усної частин.

Письмова частина семестрового контролю проводиться згідно з правилами та умовами написання аудиторних письмових робіт.

Якщо контрольна робота пропущена з поважної причини, то вона може бути написана без зменшення кількості балів за неї. В інших випадках контрольна робота також може бути написана (переписана), але одержані за неї бали враховуються з коефіцієнтом 0,8.



Усна частина семестрового контролю полягає в додатковому опитуванні, яке проводиться як по письмовій роботі, так і з інших питань програми курсу. За підсумками усної частини можна отримати до 20% від максимальної кількості балів за даний семестровий контроль, але сумарна кількість балів за семестровий контроль не може перевищувати максимальну.
НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ




НАЗВА ТЕМИ

КІЛЬКІСТЬ ГОДИН







Лекції

Практична робота

Самостійна

робота


Змістовий модуль 1. Випадкові події, випадкові величини, послідовності, граничні теореми

1.

Основи теорії ймовірностей

6

2

12

2.

Випадкові величини

10

2

16

3.

Закони великих чисел

2

1

6

4.

Центральна гранична теорема

2

1

6




Модульна контрольна робота 1










Змістовий модуль 2. Статистичне оцінювання і перевірка гіпотез

1.

Задачі непараметричного оцінювання

4

2

8

2.

Задачі параметричного оцінювання

6

2

10

3.

Перевірка статистичних гіпотез

6

2

12

4.

Випадкові процеси

8

2

12




Модульна контрольна робота 2













Всього

42

14

82

Загальний обсяг 162 год., в тому числі:

Лекції 42 год.

Практичні14 год.

Самостійна робота82 год.



Змістовий модуль 1
Тема 1. Основи теорії ймовірностей.

Лекції:


  1. Основні поняття та аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та їх властивості. Властивості ймовірностей – 2 год.

  2. Класичне означення ймовірностей. Дискретний імовірнісний простір. Геометричне означення ймовірностей – 2 год.

  3. Умовні ймовірності, ймовірність перетину подій. Формула повної ймовірності та формула Байеса. Незалежні випадкові події, їх перетворення – 2 год.


Практична робота 1. Стохастичний експеримент, елементарні події. Простір елементарних подій, випадкові події. Класичне означення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Формула Байеса. – 2 год.
Самостійна робота 12 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання.

  1. Основні поняття та аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та їх властивості

  2. Властивості ймовірностей, які випливають з аксіом

  3. Класичне означення ймовірностей, дискретний імовірнісний простір

  4. Геометричне означення ймовірностей, задача про зустріч, парадокс Бертрана, задача Бюффона.

  5. Умовні ймовірності, ймовірність перетину подій

  6. Формула повної ймовірності та формула Байеса.

  7. Незалежні випадкові події, їх перетворення, ймовірність перетину, приклад Бернштейна.


Тема 2. Випадкові величини.

Лекції:


  1. Дискретні випадкові величини. Схема Бернуллі. Розподіли: біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассона – 2 год.

  2. Загальне означення випадкової величини, Функції від випадкової величини. Функція розподілу та її властивості. Щільність та її властивості, абсолютно неперервні функції розподілу. Приклади абсолютно неперервних розподілів – 2 год.

  3. Математичне сподівання дискретної величини. Основні властивості математичного сподівання. Приклади обчислення математичного сподівання. Обчислення математичного сподівання функції від випадкової величини. Дисперсія, її властивості, приклади обчислення. Ймовірнісні нерівності – 2 год.

  4. Випадкові вектори, сумісна функція розподілу. Розподіл функцій від випадкових векторів, їх числові характеристики. Незалежні випадкові величини, перетворення незалежних величин. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин – 2 год.

  5. Функція розподілу та щільність суми незалежних величин. Розподіли Ерланга, гама та хі-квадрат. Нормальні випадкові вектори, сумісна щільність, нормальні вектори на площині. Лінійні перетворення нормальних векторів, незалежність та некорельованість – 2 год.


Практична робота 1. Дискретні випадкові величини: розподіл, числові характеристики, сумісний розподіл, незалежність, функції від дискретних величиню Абсолютно неперервні величини: щільність, функція розподілу, числові характеристики, функції від неперервних величин. – 2 год.
Самостійна робота 16 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання.

  1. Дискретні випадкові величини, їх розподіл та основні властивості

  2. Схема Бернуллі. Розподіли біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассона.

  3. Загальне означення випадкової величини та вектора.

  4. Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

  5. Функція розподілу та її властивості.

  6. Щільність та її властивості, абсолютно неперервні, дискретні та сингулярні функції розподілу.

  7. Обчислення ймовірностей для функції від випадкової величини.

  8. Приклади абсолютно неперервних розподілів: показниковий, гамма, Коші, нормальний.

  9. Математичне сподівання дискретної величини та його властивості

  10. Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки)

  11. Обчислення математичного сподівання функції від випадкової величини через її функцію розподілу.

  12. Дисперсія, її властивості та обчислення

  13. Приклади обчислення дисперсії (дискретний та неперервний випадки).

  14. Випадкові вектори, сумісна функція розподілу та щільність.

  15. Розподіл функцій від випадкових векторів, їх числові характеристики.

  16. Незалежні випадкові величини, критерій незалежності, перетворення незалежних величин

  17. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин

  18. Функція розподілу та щільність суми незалежних величин.

  19. Розподіли Ерланга, гама та хі-квадрат

  20. Нормальні випадкові вектори, їх сумісна щільність та параметри, нормальні вектори на площині.


Тема 3. Закони великих чисел.

Лекція:


  1. Різні типи збіжності випадкових величин, Збіжність за ймовірністю та її властивості.Закон великих чисел, поліноми Бернштейна, метод Монте-Карло. Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі, Нерівність Колмогорова. Посилений закон великих чисел Колмогорова, Критерій Колмогорова посиленого закону великих чисел – 2 год.


Практична робота 1 год. Збіжність за ймовірністю. Закон великих чисел.

Збіжність майже напевне. Лема Бореля-Кантеллі. Посилений закон великих чисел



Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання:

  1. Різні типи збіжності випадкових величин та співвідношення між ними

  2. Збіжність за ймовірністю та її властивості.

  3. Закон великих чисел, поліноми Бернштейна, метод Монте-Карло.

  4. Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі

  5. Нерівність Колмогорова.

  6. Посилений закон великих чисел Колмогорова

  7. Критерій Колмогорова посиленого закону великих чисел.


Тема 4. Центральна гранична теорема.

Лекція:


  1. Збіжність в основному та її властивості. Слабка збіжність, Співвідношення між збіжностями слабкою та в основному. Характеристична функція та її властивості. Класична центральна гранична теорема. Граничні теореми Пуассона, Муавра - Лапласа. Загальна гранична теорема для стандартних послідовностей. Теореми Ліндеберга і Ляпунова для стандартних і загальних послідовностей – 2 год.

Практична робота – 1 год. Характеристичні функції. Центральна гранична теорема – 1 год.

Самостійна робота – 10 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання:


  1. Збіжність в основному та слабка збіжність

  2. Характеристична функція випадкової величини та її властивості

  3. Граничні теореми Пуассона, Муавра - Лапласа.

  4. Загальна гранична теорема для стандартних послідовностей.


Змістовий модуль 2

Тема 1. Задачі непараметричного оцінювання.

Лекції:


1. Статистичний простір, вибірка. Функція вірогідності Статистики, оцінки та їх властивості. Оцінювання ймовірності успіху в схемі Бернуллі – 2 год.

2. Емпірична функція розподілу як оцінка теоретичної функції розподілу . Теореми Глівенка - Кантеллі, Колмогорова та їх застосування – 2 год.


Практична робота 1. Вибірка, статистики і оцінки. Властивості оцінок. Оцінювання ймовірності успіху у схемі Бернуллі. Емпірична функція розподілу. Варіаційний ряд. Квантилі – 2 год.
Самостійна робота 8 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання.

  1. Основні задачі математичної статистики

  2. Статистичний простір, вибірка. Функція вірогідності

  3. Статистики, оцінки та їх властивості

  4. Оцінювання ймовірності успіху в схемі Бернуллі

  5. Емпірична функція розподілу як оцінка теоретичної функції розподілу

  6. Теореми Глівенка - Кантеллі, Колмогорова та їх застосування.


Тема 2. Задачі параметричного оцінювання.

Лекції:


1. Вибіркові моменти та їх властивості. Метод моментів, його конзистентність. Незміщені оцінки мінімальної дисперсії. Оптимальні оцінки – 2 год.

2. Теорема Крамера-Рао для скалярного параметра. Приклади оптимальних оцінок в схемі Бернуллі. Приклади оптимальних оцінок для нормальних спостережень – 2 год.

3. Оцінки максимальної вірогідності, означення, рівняння, обчислення. ОМВ та ефективні, достатні статистики. Приклади ОМВ для розподілів Бернуллі, Пуассона та нормального. Побудова вірогідних інтервалів для середнього та дисперсії нормальної вибірки – 2 год.
Практична робота. Вибіркові моменти. Метод моментів. Незміщені оцінки. Нерівність Крамера – Рао. Оцінки максимальної вірогідності – 2 год.
Самостійна робота 10 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання.

1. Вибіркові моменти та їх властивості

2. Метод моментів, його конзистентність.

3. Незміщені оцінки мінімальної дисперсії. Оптимальні оцінки, єдиність

4. Теорема Крамера-Рао для скалярного параметра

5. Приклади оптимальних оцінок в схемі Бернуллі

6. Приклади оптимальних оцінок для нормальних спостережень

7. Оцінки максимальної вірогідності, означення, рівняння, обчислення.

8. Приклади ОМВ для розподілів Бернуллі, Пуассона та нормального

9. Розподіли хі-квадрат, Стьюдента і Фішера - Снедекора.



Тема 3. Перевірка статистичних гіпотез.

Лекції:


  1. Постановка задач перевірки статистичних гіпотез. Прості та складні гіпотези, їх альтернативи, приклади. Критична область. Рівень та потужність критерію. Критерії Колмогорова, Смірнова. Критерій хі-квадрат для поліноміальної схеми Бернуллі Оцінки максимальної вірогідності – 2 год.

  2. Критерії хі-квадрат однорідності, незалежності Оцінки максимальної вірогідності – 2 год.

  3. Перевірка гіпотез про середнє та дисперсію нормальної вибірки. Перевірка гіпотез про різницю середніх нормальних вибірок. Перевірка гіпотез про відношення дисперсій нормальних вибірок Оцінки максимальної вірогідності – 2 год.


Практична робота 1. Непараметричні критерії узгодженості, однорідності, незалежності. Критерії хі-квадрат – 2 год.
Самостійна робота 12 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання.

  1. Постановка задач перевірки статистичних гіпотез

  2. Прості та складні гіпотези, їх альтернативи, приклади

  3. Статистика критерію, критична область. Рівень та потужність критерію

  4. Критерії Колмогорова, Смірнова.

  5. Критерій хі-квадрат для поліноміальної схеми Бернуллі

  6. Критерії хі-квадрат однорідності, незалежності.

  7. Перевірка гіпотез про середнє та дисперсію нормальної вибірки

  8. Перевірка гіпотез про різницю середніх та відношення дисперсій нормальних вибірок.


Тема 4. Випадкові процеси .

Лекції:


  1. Вінерівський процес, його розподіл та властивості траєкторій. Процес Пуассона, його розподіл та властивості траєкторій – 2 год.

  2. Стаціонарні процеси другого порядку, коваріаційна функція. Спектральне зображення коваріаційної функції, спектральна міра. Стохастичні міри з ортогональними значеннями, стохастичні інтеграли – 2 год.

  3. Оптимальний лінійний прогноз. Регулярні стаціонарні послідовності, зображення та прогноз – 2 год.

  4. Факторизація спектральної щільності та похибка оптимального прогнозу. Приклади послідовностей з дробово-раціональним спектром – 2 год.


Практична робота. Спектральний розв’язок задачі лінійного прогнозу для стаціонарної послідовності – 2 год.
Самостійна робота 12 год. (опрацювання лекційного матеріалу, вивчення додаткових розділів і виконання домашніх завдань).
Контрольні питання і завдання:

  1. Процес Пуассона, його розподіл та властивості траєкторій

  2. Вінерівський процес, його розподіл та властивості траєкторій

  3. Стаціонарні процеси другого порядку, коваріаційна функція

  4. Спектральне зображення коваріаційної функції, спектральна міра

  5. Стохастичні міри з ортогональними значеннями, стохастичні інтеграли

  6. Спектральне зображення стаціонарного процесу

  7. Оптимальний лінійний прогноз

  8. Регулярні стаціонарні послідовності, зображення та прогноз.

  9. Спектральний розв’язок задачі лінійного прогнозу для стаціонарної послідовності

  10. Факторизація спектральної щільності та похибка оптимального прогнозу

  11. Приклади послідовностей з дробово-раціональним спектром.



Питання на іспит


  1. Основні поняття та аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та їх властивості.

  2. Властивості ймовірностей, які випливають з аксіом

  3. Класичне означення ймовірностей, дискретний імовірнісний простір

  4. Геометричне означення ймовірностей, задача про зустріч, парадокс Бертрана, задача Бюффона.

  5. Умовні ймовірності, ймовірність перетину подій

  6. Формула повної ймовірності та формула Байеса.

  7. Незалежні випадкові події, їх перетворення, ймовірність перетину, приклад Бернштейна.

  8. Дискретні випадкові величини, їх розподіл та основні властивості

  9. Схема Бернуллі. Розподіли біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассона.

  10. Загальне означення випадкової величини та вектора.

  11. Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

  12. Функція розподілу та її властивості.

  13. Щільність та її властивості, абсолютно неперервні, дискретні та сингулярні функції розподілу.

  14. Обчислення ймовірностей для функції від випадкової величини.

  15. Приклади абсолютно неперервних розподілів: показниковий, гамма, Коші, нормальний.

  16. Математичне сподівання дискретної величини та його властивості

  17. Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки)

  18. Обчислення математичного сподівання функції від випадкової величини через її функцію розподілу.

  19. Дисперсія, її властивості та обчислення

  20. Приклади обчислення дисперсії (дискретний та неперервний випадки).

  21. Випадкові вектори, сумісна функція розподілу та щільність.

  22. Розподіл функцій від випадкових векторів, їх числові характеристики.

  23. Незалежні випадкові величини, критерій незалежності, перетворення незалежних величин

  24. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин

  25. Функція розподілу та щільність суми незалежних величин.

  26. Розподіли Ерланга, гама та хі-квадрат

  27. Нормальні випадкові вектори, їх сумісна щільність та параметри, нормальні вектори на площині.

  28. Різні типи збіжності випадкових величин та співвідношення між ними

  29. Збіжність за ймовірністю та її властивості.

  30. Закон великих чисел, поліноми Бернштейна, метод Монте-Карло.

  31. Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі

  32. Нерівність Колмогорова.

  33. Посилений закон великих чисел Колмогорова

  34. Критерій Колмогорова посиленого закону великих чисел.

  35. Збіжність в основному та слабка збіжність

  36. Характеристична функція випадкової величини та її властивості

  37. Граничні теореми Пуассона, Муавра - Лапласа.

  38. Загальна гранична теорема для стандартних послідовностей.

  39. Основні задачі математичної статистики

  40. Статистичний простір, вибірка. Функція вірогідності

  41. Статистики, оцінки та їх властивості

  42. Оцінювання ймовірності успіху в схемі Бернуллі

  43. Емпірична функція розподілу як оцінка теоретичної функції розподілу

  44. Теореми Глівенка - Кантеллі, Колмогорова та їх застосування.

  45. Вибіркові моменти та їх властивості

  46. Метод моментів, його конзистентність.

  47. Незміщені оцінки мінімальної дисперсії. Оптимальні оцінки, єдиність

  48. Теорема Крамера-Рао для скалярного параметра

  49. Приклади оптимальних оцінок в схемі Бернуллі

  50. Приклади оптимальних оцінок для нормальних спостережень

  51. Оцінки максимальної вірогідності, означення, рівняння, обчислення.

  52. Приклади ОМВ для розподілів Бернуллі, Пуассона та нормального

  53. Розподіли хі-квадрат, Стьюдента і Фішера - Снедекора.

  54. Постановка задач перевірки статистичних гіпотез.

  55. Прості та складні гіпотези, їх альтернативи, приклади

  56. Статистика критерію, критична область. Рівень та потужність критерію

  57. Критерії Колмогорова, Смірнова.

  58. Критерій хі-квадрат для поліноміальної схеми Бернуллі

  59. Критерії хі-квадрат однорідності, незалежності.

  60. Перевірка гіпотез про середнє та дисперсію нормальної вибірки

  61. Перевірка гіпотез про різницю середніх та відношення дисперсій нормальних вибірок.

  62. Процес Пуассона, його розподіл та властивості траєкторій

  63. Вінерівський процес, його розподіл та властивості траєкторій

  64. Стаціонарні процеси другого порядку, коваріаційна функція

  65. Спектральне зображення коваріаційної функції, спектральна міра

  66. Стохастичні міри з ортогональними значеннями, стохастичні інтеграли

  67. Спектральне зображення стаціонарного процесу

  68. Оптимальний лінійний прогноз

  69. Регулярні стаціонарні послідовності, зображення та прогноз.

  70. Спектральний розв’язок задачі лінійного прогнозу для стаціонарно послідовності

  71. Факторизація спектральної щільності та похибка оптимального прогнозу

  72. Приклади послідовностей з дробово-раціональним спектром.


Типовий зразок білету


  1. Теоретичне питання

  2. Теоретичне питання

  3. Типова задача модульної контрольної роботи або аналогічна за складністю

  4. Типова задача модульної контрольної роботи або аналогічна за складністю



Рекомендована література:

Базова
1. И.И. Гихман, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. К., "Вища школа", 1988.

2. Б.В. Гнєденко. Курс теорії ймовірностей. Київ, ВПЦ «Київський університет» – 2010.

3. А.Я. Дороговцев, Д.С. Сiльвестров, А.В. Скороход, М.Й. Ядренко. Теорiя ймовiрностей. Збiрник задач. К., Вища школа. 1976.

4. В.М.Турчин. Математична статистика в прикладах i задачах. К., 1993.

5. А.В.Скороход. Лекії з теорії випадкових процесів. К., Либідь, 1990.
Додаткова
1. М. В. Карташов. Теорiя ймовірностей та математична статистика. Київ, ВПЦ «Київський університет» – 2009.

2. В.В.Голомозий, М.В.Карташов, К.В. Ральченко Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики. Київ, ВПЦ «Київський університет» – 2015.

3. Г.И.Ивченко, Ю.И.Медведев. Математическая статистика. М., " Высшая школа", 1984.



4. В.М.Турчин. Теорiя ймовірностей і математична статистика. Вид-во Дніпр. ун-ту. 2006.

5. И.И. Гихман, А.В.Скороход. Введение в теорию случайных процессов. М., 1977.

Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка