Реферат підготував вчитель математики чернов олексій миколайович вступ



Скачати 79.84 Kb.
Дата конвертації25.10.2017
Розмір79.84 Kb.
ТипРеферат

ПІДЛІСНЕНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА І-ІІІ ст.





РЕФЕРАТ

Підготував вчитель математики

ЧЕРНОВ ОЛЕКСІЙ МИКОЛАЙОВИЧ

ВСТУП
Мова йтиме про числові нерівності, правильність яких потрібно довести на заданій множині значень змінних. Якщо таку множину в умові задачі не вказано, то вважається, що ці змінні можуть набувати будь-яких дійсних значень.

Слід сказати, що загального методу доведення не­рівностей не існує. Цим, мабуть, і пояснюються ті труд­нощі, які виникають під час розв'язування відповідних вправ на доведення. Зауважимо, що існує чимало спеці­альних методів, з допомогою яких вдається довести знач­ну кількість нерівностей. Наш досвід і аналіз рівня ма­тематичної підготовки вчителів і учнів показують, що ці методи їм або не відомі, або якщо й відомі, то вміння користуватися ними — недосконалі.

Тому стаття має на меті допомогти читачеві навчи­тися доводити нерівності, а також знаходити раціональні методи доведення.

1 ЧИСЛОВІ НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Порівнювати числа учні вчаться ще в початковій школі. Спочатку вони порівнюють натуральні числа, потім (5—6-ті класи) десяткові та звичайні дроби, цілі числа, згодом (8-й клас) — ірраціональні числа. По­рівняння чисел на кожному етапі навчання здійснюєть­ся за певними відомими і доступними учням правила­ми. Узагальнення цих правил у шкільному курсі мате­матики відбувається в курсі алгебри 9-го класу, а дія порівняння дійсних чисел одержує статус означуваної дії. Наведемо це означення.

Означення. Число а більше від числа в, якщо різниця а в — додатне число; число в менше від числа а, якщо різниця а в — від'ємне число; якщо різниця а —в дорівнює нулю, то числа а і в — рівні.

Виходячи з означення, можна довести значну кількість теорем, що виражають властивості числових нерівностей. Пригадаємо основні з них, якими корис­туватимемося надалі



Теорема 1. Якщо а > в, то в < а; якщо а < в, то в > а; тобто після перестановки лівої та правої частин не­рівності знак нерівності змінюється на протилежний.

Теорема 2. Якщо а< і в< с, то а< с (властивість транзитивності нерівностей).

Теорема 3. Якщо а < в і с — будь-яке число, то а + с<в + с; тобто до обох частин нерівності можна додавати будь-яке дійсне число і знак нерівності при цьому не змінюється.

Теорема 4. Якщо а < в і с — додатне число, то ас < вс, якщо а < в і с — від'ємне число, то ас > вс, тобто при множенні обох частин нерівності на додатне (від'ємне) число знак нерівності зберігається (змінюється на протилежний).

Теорема 5. Якщо а < в і с < d то а+с<в+а тобто нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати, зберігаючи знак нерівності.

Теорема справджується і у випадку почленного до­давання більше двох нерівностей.



Теорема 6. Якщо а<в і с>а, то а — с<в — а тобто дві нерівності з протилежними знаками можна почленно віднімати, залишаючи знак тієї нерівності, від якої віднімається друга нерівність.

Теорема 7. Якщо а <в і с < d, де а, в,с,dдодатні числа, то ас <вd тобто нерівності з однаковими знаками з додатними лівою та правою частинами можна почленно множити, знак нерівності при цьому не змінюється.

Теорема справджується і у випадку множення більше двох нерівностей. З неї випливають такі важливі на­слідки.



Наслідок 1. Якщо а < в, де а і в — додатні числа, то а <в (п — натуральне число); тобто обидві частини нерівності з додатними лівою та правою частинами можна підносити до
одного й того самого степеня з натуральним показником, знак не­рівності при цьому не змінюється.

Наслідок 2. Якщо а < в, де а і в — додатні числа, то

— натуральне число); тобто з обох частин нерівності з додатними лівою та правою частинами можна добувати арифметичний корінь одного й того самого степеня, знак нерівності при цьому не змінюється.

Теорема 8. Якщо а < в і с > d,

де а, d, с,в — додатні числа, то <

тобто нерівності з протилежними знаками з додатними лівою та правою частинами можна почленно ділити, залишаючи знак тієї нерівності, яку ділили на другу нерівність.

Доведемо, наприклад, перше твердження теореми 4. Інші твердження доводяться аналогічно. Пропонуємо читачу зробити це самостійно.



Теорема 4*. Якщо а < в і с — додатне число, то ас< вс.

Доведення

Якщо а < в, то різниця а —в — від'ємне число. Тоді добуток чисел (а — в) і с — від'ємне число. Отже,



(а — в)е < 0, тобто

ас вс < 0. За означенням ас< вс.

Виведемо з цієї теореми два наслідки, якими корис­туватимемося під час доведення складніших нерівностей.


2 МЕТОДИ ДОВЕДЕННЯ ЧИСЛОВИХ НЕРІВНОСТЕЙ
2.1 Аналітичний метод

Це один з найпоширеніших методів. Суть його по­лягає в тому, що для доведення числової нерівності оці­нюють різницю між лівою та правою її частинами, тоб­то користуються означенням.


Приклад

Довести нерівність


Доведення

Оцінимо різницю між лівою та правою частинами нерівності, тобто визначимо знак різниці





Якщо
Рівність буде, якщо а = в.

Різниця невід'ємна, отже нерівність доведено.
2.2 Синтетичний метод

Суть методу полягає в тому, що з допомогою відо­мих властивостей (теореми І —8) і деяких відомих опор­них нерівностей кількома перетвореннями встановлю­ють нерівність, яку потрібно довести.

Приклади

Довести, що а4 + в4 , коли а + в = 1



Доведення

Виберемо як опорні такі два істинні твердження:



(а + в)2 = в2 + 2ав + в2 = 1;

(а-в)22-2ав + в2>0.

Рівність а2 + 2ав + в2 = 1 і нерівність а2 - 2ав + в2 > 0 можна почленно додати, зберігаючи знак нерівності (теорема 5). Одержимо



2 + 2 > 1. Розділивши обидві частини нерівності на 2 (теорема 4) матимемо:

а22>

Далі міркуємо аналогічно.



2 + в2)24+2а2в24 ,

22)24-2а2в22>0. Додамо почленно останні нерівності:

4+2в4 >; а44,

що й потрібно було довести.


2.3 Метод від супротивного

Суть цього методу зрозуміла, оскільки він часто за­стосовується для доведення теорем у курсі геометрії. Проілюструємо його дію на прикладах доведення не­рівностей.

Приклади

Довести, що для будь-якого дійсного числа х ви­конується нерівність

(х-1)(х-3)(х-4)(х-6)+9>0.

Доведення

Припустимо протилежне, тобто, що існує принаймні одне дійсне значення х, для якого

(х-1)(х-3)(х-4)(х-6) + 9<0. Тоді, перетворюючи діву частину, матимемо:

х2-7х + 6)(х2-7х + 12) + 9<0;

2-7х + 6)((х2-7х + 6) + 6) + 9<0;

2-7х+6)2+6(х2-7х + 6) + 9<0;

((х2-7х + 6)+3)2<0.

Але квадрат числа не може бути від'ємним числом.

Отже, одержали суперечність, що вказує на хибність припущення та правильність вихідної нерівності

2.4 Метод мажорування

Слово «мажор» (таіог) у перекладі з латинської озна­чає «більший». Суть методу можна пояснити так. Нехай потрібно довести, що має місце нерівність а < в. Прямо це довести не вдається, але можна довести, що а < с. Відомо також, що в > с, тоді з транзитивності

нерівностей випливає, що а < в.

Часто потрібні міркування проводяться і в іншому напрямі. Нехай, наприклад, потрібно довести, що а < в. Спочатку доводять, що в > с і встановлюють, що с > а. Тоді, знову за транзитивною властивістю, а < в.

Цей метод іноді називають ще методом підсилення нерівності

2.5 Метод математичної індукції

Метод математичної індукції ґрунтується на так зва­ному принципі математичної індукції, що є різновидом аксіоми індукції (однієї з аксіом формальної теорії натуральних чисел). Його можна сформулювати так:



Якщо твердження А(п), де п — натуральне число, » істинне для п = 1, із того, що воно істинне для п=к ,де к — будь-яке натуральне число, випливає його істинність ; для наступного числа п = к + І, то твердження А(п) істинне для будь-якого натурального числа п.

Доведення методом математичної індукції складаєть­ся з трьох частин:

1. Доводимо (перевіряємо) істинність твердження А(1).

2. Припускаємо, що А(п) істинне для п =к, і доводи­мо істинність цього твердження для



п = к + 1, тобто доводимо справедливість теореми А(к)= А(к +1).

3. На основі принципу математичної індукції роби­мо висновок, що твердження істинне для будь-якого натурального п.



Приклад

Довести, що 2!• 4!•... • (2n)!> ((n + 1)!), де п є N , п > 1.

Доведення

1. Перевіримо правильність нерівності, якщо n = 2. У лівій частині маємо

2!·4!=1·2·1·2·3·4 = 48, а в правій

((2 + 1)!)2=(3!)2=62=36. Оскільки 48 > 36, то для п = 2 нерівність правильна.

2. Припустимо, що дана нерівність правильна, якщо

п = к, тобто

2!·4!·...·(2k)! >((k + 1)!).

3. Доведемо, що вихідна нерівність правильна і для п =к + 1, тобто

2!· 4!·...• (2к)(2(к +1))! >((k + 2)!).

Справді,

2!·4!·...(2k)!(2(k + 1))!>((k + 1)!)·(2(k + 1))!,

оскільки за припущенням

2!·4!·...(2k)!>((k + 1)!).

Але (2+1))! = 1·2·3·...·k·(k + 1) • (k+2) •... • (2(к +1)) = +1)!(к + 2)(к + 3)· ... • (2(k + 1)).

Тоді


((k + 1)!)· (2(k+ 1))! =

= ((k +1)!)·+ 2)(к + 3) •... • (2(k +1)) >((k + 1)!)· (k+2)(k+2)·….·(k+2) =

= ((k + 1)!)(·k+2)=((k+2)!).

Отже,

2!·4!·..·(2k)!·(2(k+1)!›((k+2)!).

За методом математичної індукції нерівність:

2!·4!·…·(2n)!›((n+1)!)

Правильна для всіх nN, n›1.

Література
1. Завало С.Т. Елементарна математика: Алгебра. Вид. 2-ге - К.: Рад. шк., 1965. - 268 с.

2. Сивашинський И.Х. Неравенства в задачах. — М : На­ука, 1967. - 304 с.

3. Коровкин П.П. Неравенства. Изд. 4-е. — М. : Наука 1974. — 72 с.

4. Копцюх М.Г., Савич Є.Ф. Доведення нерівностей. — К.: Рад. шк., 1982. - 160 с.

5. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по зле-ментарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. по-соб. для студ. физ.-мат. спец. пед. институтов. 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. — 352 с.

6. Андрєєв А, Пихтар М. Нетрадиційні доведення нерівно­стей: Навч.-метод. посіб. - Чернігів: Вид-во Чернігівського державного педагогічного університету, 1999 — 82 с.

7. Дорофеев Г.Ф., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузм. — М.: Наука 1972 — 528 с.

Висновки
В даному рефераті висвітлено числові нерівності, правильність яких потрібно довести на заданій множині значень змінних. Якщо таку множину в умові задачі не вказано, то вважається, що ці змінні можуть набувати будь-яких дійсних значень.



Слід сказати, що загального методу доведення не­рівностей не існує. Цим, мабуть, і пояснюються ті труд­нощі, які виникають під час розв'язування відповідних вправ на доведення. Зауважимо, що існує чимало спеці­альних методів, з допомогою яких вдається довести знач­ну кількість нерівностей. Наш досвід і аналіз рівня ма­тематичної підготовки вчителів і учнів показують, що ці методи їм або не відомі, або якщо й відомі, то вміння користуватися ними — недосконалі.

Матеріал, викладений в рефераті допоможе читачеві навчи­тися доводити нерівності, а також знаходити раціональні методи доведення.

Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка