При президентові україни



Сторінка1/6
Дата конвертації17.11.2018
Розмір0.72 Mb.
ТипПротокол
  1   2   3   4   5   6


НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ

ПРИ ПРЕЗИДЕНТОВІ УКРАЇНИ


ОДЕСЬКІЙ РЕГІОНАЛЬНИЙІНСТИТУТ

ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ

Кафедра управління проектами

Економіко-математичні моделі та методи

проектного менеджменту

Частина І. Статистичні моделі та методи


Програма, тематичні плани і методичні рекомендації

з навчально-методичного комплексу дисципліни для слухачів денної та заочної форми навчання спеціальності 8.000003 «Управління проектами»

Одеса ЁC 2009


Рекомендовано до друку Науково ЁC методичною радою

Одеського регіонального інституту державного управління

НАДУ при Президентові України.

Протокол № від 2009 року

Економіко-математичні моделі та методи проектного менеджменту: програма, тематичні плани і методичні рекомендації з навчально-методичного комплексу дисципліни для слухачів денної та заочної форми навчання спеціальності 8.000003 «Управління проектами» / Укладач І.А. Сенча. ЁC Одеса: ОРІДУ НАДУ, 2009. ЁC 101 с.

© ОРІДУ НАДУ

при Президентові України 2009.

© Сенча І.А.


ЗМІСТ

ВступЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...4Розділ 1. Основні поняття математичної статистикиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK51.1. .Поняття вибіркового методу в статистиціЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.51.2. Статистичні ряди та їх графічне зображенняЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.61.3. Числові характеристики статистичних рядівЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.141.4. Довірчі інтервали і довірча ймовірністьЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.221.5. Шкали вимірюваньЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK261. 6. Визначення числових характеристик і довірчих інтервалів із використанням табличного процесору Microsoft ExcelЎKЎKЎKЎKЎK

271.7. Побудова гістограми засобами Microsoft ExcelЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.291.8. Завдання для самостійного виконанняЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK33Розділ 2. Перевірка статистичних гіпотезЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...372.1. Поняття про статистичні гіпотезиЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...372.2. Перевірка гіпотези про вид закону розподілу досліджуваної величиниЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..ЎKЎKЎKЎKЎKЎK

382.3. Перевірка гіпотез про генеральні середні і дисперсіїЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK462.4. Перевірка статистичних гіпотез із використанням Microsoft ExcelЎK.602.5. Завдання для самостійного виконанняЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK62Розділ 3. Основи кореляційного аналізуЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...643.1. Поняття кореляційного зв’язку між досліджуваними величинамиЎK.643.2. Групування даних для кореляційного аналізуЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK...653.3. Коефіцієнт кореляції ПірсонаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..683.4. Коефіцієнт кореляції СпірменаЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK733.5. Множинний та частинний коефіцієнти кореляціїЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..753.6. Кореляційний аналіз із використанням Microsoft ExcelЎKЎKЎKЎKЎKЎK803.7. Завдання для самостійного виконанняЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK82Розділ 4. Побудова регресійних моделейЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK854.1. Встановлення виду кореляційної залежностіЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.854.2. Лінійна регресіяЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.874.3. Нелінійна регресіяЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.924.4. Регресія у Microsoft ExcelЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK.964.5. Завдання для самостійного виконанняЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK98ЛітератураЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎKЎK..101

ВСТУП
Розвиток сучасної науки характеризується її математизацією, що виражається у використанні математичних методів і моделей не тільки у технічних та економічних дослідженнях, але й в менеджменті, маркетингу, державному управлінні, біології, медицині, педагогіці і соціології. Це обумовлено такими об’єктивними факторами, як: значний обсяг накопиченої інформації, що потребує аналізу; висока складність соціально-економічних процесів; необхідність прогнозування і моделювання тенденцій розвитку соціально-економічних явищ; необхідність системної оцінки наслідків управлінських рішень; значна вартість, а часто й неможливість проведення практичних досліджень.

В економічній науці, проектному менеджменті та науці управління використовуються різноманітні статистичні методи для перевірки висунутих гіпотез, побудови статистичних моделей економічних об’єктів, явищ, закономірностей і процесів. Так, за допомогою кількісного аналізу вирішуються задачі встановлення факторів, що впливають на результат виробництва; будуються виробничі функції; моделюється та аналізується вплив певних факторів на економічне становище об’єкта або явища; обробляються результати маркетингового дослідження; проектуються оптимальні технологічні процеси; контролюється якість сировини і продукції; оцінюються і прогнозуються можливі наслідки управлінських рішень; обробляються результати експертного оцінювання; планується науковий експеримент та обробляються його результати і т. ін.

Спектр економічних та управлінських задач, які розв’язуються із використанням кількісного аналізу, дуже широкий. Розв’язання кожної конкретної задачі передбачає не тільки знання певного математичного методу, але вміння перевірити і доказати можливість його застосування. Побудова моделей також супроводжується перевіркою їх адекватності, інформативності і статистичної значущості. Крім того, важливіші ознаки об’єкту або явища можуть вимірюватися за допомогою некількісних шкал. Все це ускладнює використання статистичних моделей і методів у розв’язанні прикладних задач. Однак, незважаючи на ці труднощі, статистичні методи широко застосовуються в наукових теоретичних і прикладних дослідженнях.

РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ


1.1. Поняття вибіркового методу в статистиці
Математична статистика ЁC це розділ прикладної математики, предметом якого є розробка раціональних прийомів і методів отримання, опису та обробки експериментальних даних з метою вивчення закономірностей масових випадкових явищ.

Основними завданнями математичної статистики є:

визначення за статистичними даними законів розподілу випадкових величин;

визначення за статистичними даними параметрів розподілу випадкових величин;

визначення за статистичними даними виду зв'язку між різними явищами (об'єктами) або властивостями одного і того ж явища (об'єкту);

визначення сили (тісноти зв'язку) між різними явищами (об'єктами) або властивостями одного і того ж явища (об'єкту);

перевірка вірогідності статистичних гіпотез;

розробка рекомендацій щодо проведення експерименту та обробки його результатів.

У прикладних дослідженнях зазвичай необхідно вивчити сукупність однорідних об'єктів або спостережень за якою-небудь кількісною або якісною ознакою.

Сукупність об'єктів або спостережень, всі елементи якої підлягають вивченню при статистичному аналізі, називається генеральною сукупністю.

Генеральна сукупність може бути скінченою або нескінченною. Так, при вивченні розподілу населення за родом занять, розглядається велика, але скінчена генеральна сукупність об'єктів. При вивченні впливу яскравості освітлення робочого місця на продуктивність праці працівника генеральна сукупність спостережень теоретично нескінченна, оскільки яскравість освітлення може зміняться безперервно у межах певного інтервалу.

Число об'єктів (спостережень) генеральної сукупності називається її об'ємом і позначається N.

На практиці рідко є можливість досліджувати кожен елемент генеральної сукупності, оскільки це зв'язано з великими витратами засобів і часу, а іноді з псуванням або знищенням досліджуваних об'єктів. У деяких випадках дослідити всі об’єкти генеральної сукупності взагалі неможливо. Тому при статистичному аналізі, як правило, вивчається не вся генеральна сукупність, а деяка її частина.

Частина об'єктів генеральної сукупності, використовувана в ході дослідження, називається вибіркою. Число об'єктів (спостережень) вибірки називається її об'ємом і позначається n.

Наприклад, продукція у кількості N одиниць, вироблена підприємством на протязі року, є генеральною сукупністю. Для дослідження якості продукції на практиці розглядається вибірка, що складається з n одиниць продукції. Ознакою якості в даному дослідженні служить відповідність вибраної одиниці товару сертифікатним вимогам.

Суть вибіркового методу в статистиці полягає в тому, що висновки, зроблені на основі вивчення вибірки, розповсюджуються на всю генеральну сукупність.

Слід зазначити, що незалежно від способу організації вибірки вона повинна правильно відображати кількісні співвідношення генеральної сукупності, тобто бути репрезентативною. Крім того, всі елементи генеральної сукупності повинні мати однакову ймовірність бути відібраними у вибірку, тобто вибірка повинна бути випадковою. Для результатів, що отримані при вибірковому дослідженні, необхідна перевірка на точність і статистичну значущість; спосіб формування вибірки та її об’єм повинні відповідати певному методу обробки даних.
1.2. Статистичні ряди та їх графічне зображення
Припустимо, що необхідно вивчити деяку ознаку генеральної сукупності Х, для чого було проведено n вимірювань цієї ознаки ї складено вибірку її значень {х1, х2 ,..., хn} об'єму n.

Різні елементи вибірки називаються варіантами. Число ni, що показує, скільки разів варіанта хi зустрічається у вибірці, називається частотою варіанти. Число wi, що дорівнює відношенню частоти варіанти ni до об'єму вибірки n, називається відносною частотою варіанти хi:

µ §. (1.1)

Ряд варіант, розташованих в порядку зростання їх значень, називається варіаційним рядом. Ряд, що містить варіанти і відповідні ним частоти (відносні частоти) називається статистичним рядом. Групування кількісних результатів вимірювань у вигляді статистичних рядів є необхідним для застосування статистичних методів аналізу даних і побудови статистичних моделей.

Ознака Х є випадковою величиною, а статистичний ряд ЁC емпіричним (тобто отриманим у результаті експерименту або спостережень) законом її розподілу.

Статистичний ряд називається дискретним, якщо він є законом розподілу дискретної випадкової величини, та інтервальним, якщо він є законом розподілу неперервної випадкової величини.

Дискретний статистичний ряд у загальному вигляді можна представити таблицею (табл. 1.1):

Таблиця 1.1

Варіанти хiх1х2ЎKхkЧастоти ni

(відносні частоти wi)n1 (w1)n2 (w2)ЎKnk (wk)де k ЁC кількість варіант.

Інтервальний статистичний ряд у загальному вигляді можна представити таблицею (табл. 1.2):

Таблиця 1.2

Інтервали µ §µ §µ §ЎKµ §Частоти ni

(відносні частоти wi)n1 (w1)n2 (w2)ЎKnk (wk)де k ЁC кількість інтервалів.

Для статистичних рядів повинні виконуватися рівності: µ §, µ §.

Для побудови інтервального статистичного ряду множину значень варіант розбивають на інтервали µ §, тобто проводять їх згрупування. Кількість інтервалів k рекомендується розраховувати за формулою Стерджерса:

µ §. (1.2)

Довжина кожного із інтервалів µ § розраховується за формулою

µ §, (1.3)

де µ §, µ §- максимальне і мінімальне значення у варіаційному ряді.

Підраховуючи кількість значень варіант, що потрапили в інтервал µ §, отримують частоти ni для µ §.

Для наочності використовують графічне зображення статистичних рядів у вигляді полігону частот (відносних частот) та, виключно у випадку інтервального ряду, гістограми.

Полігоном частот (відносних частот) називається ламана лінія, що сполучає точки площини з координатами: (хi; ni) або (хi; wi) для µ § у разі дискретного статистичного ряду; (сi; ni) або (сi; wi) у разі інтервального ряду, де сі ЁC середина і-того інтервалу, µ §.

Гістограмою називається ступінчаста фігура, яка складається з прямокутників з основами, що дорівнюють довжині інтервалів µ § та висотами, що дорівнюють частотам ni (відносним частотам wi) на відповідних інтервалах.

За статистичним рядом можна встановити емпіричну функцію розподілу та емпіричну щільність розподілу випадкової величини Х.

Емпіричною функцією розподілу називається функція

µ §. (1.4)

Відмітимо, що для інтервального ряду указуються не конкретні значення варіант, а тільки їх частоти на інтервалах. Тому емпірична функція розподілу визначена тільки на кінцях інтервалів. Її можна зобразити ламаною, такою, що проходить через точки (аi; µ §), де µ §.

Емпіричною щільністю розподілу для інтервального ряду називається функція

µ §. (1.5)


Приклад 1.1. У результаті тестування службовців деякої компанії були отримані такі результати (у баллах): 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 38, 42, 41, 43, 39, 37, 43, 41, 38, 42, 40, 41, 42, 40, 41. Побудувати дискретний статистичний ряд для випадкової величини Х ЁC оцінки службовців, полігон частот, емпіричну функцію розподілу та її графік.

Розв’язок. Для побудови дискретного статистичного ряду записуємо у порядку зростання різні значення випадкової величини Х і відповідні частоти (табл. 1.3). Останній стовпець таблиці використовується для перевірки правильності побудови статистичного ряду (усього у тестуванні приймали участь 25 осіб, тому сума частот повинна дорівнювати 25).

Таблиця 1.3

хi3738394041424344Сумаni12246541µ §=25Полігон частот даного розподілу зображено на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Полігон частот

Для побудови емпіричної функції розподілу доповнимо таблицю двома рядками (табл. 1.4). В першому рядку обчислимо суму частот варіант, що менше хi (тобто µ §). Отримаємо:

якщо µ §, то µ §, оскільки таких значень Х немає;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то

µ §;

якщо µ §, то µ § ЁC це позначає, що всі значення Х менше числа, більшого за 44.



В другому рядку запишемо значення функції, обчислені за формулою (1.4). Графік отриманої емпіричної функції розподілу зображено на рис. 1.2.

Таблиця 1.4

хi3738394041424344ni12246541µ §0135915202425Fi00,040,120,20,360,60,80,961

Рис. 1.2. Графік емпіричної функції розподілу


Приклад 1.2. За даними вибіркового дослідження було отримано розподіл родин за доходом на одного їх члена в умовних одиницях (табл. 1.5). Побудувати інтервальний статистичний ряд, полігон частот, гістограму, полігон відносних частот, емпіричні функцію і щільність розподілу та їх графіки.

Таблиця 1.5

28,9227,5422,3629,0932,1926,0417,0626,8324,5533,2217,5330,0736,2724,2426,0331,0513,9414,5621,4023,0413,0938,8425,5722,876,1127,7925,6816,3017,9324,3728,9227,5422,3629,0632,1926,0417,0626,8324,5533,2217,5330,0736,2724,2426,0331,0513,9414,5621,4023,04Розв’язок. Таблиця 1.5 містить 50 даних, тобто µ §. Для побудови інтервального статистичного ряду знаходимо: кількість інтервалів за формулою (1.2): µ §; µ §, µ §; довжина кожного інтервалу за формулою (1.3): µ §. Отже, за початок першого інтервалу обираємо µ §. Тоді µ §. Аналогічно, µ §.

Підраховуючи кількість варіант, що попали в кожен інтервал, отримаємо інтервальний статистичний ряд (табл. 1.6).

Таблиця 1.6

µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §ni156121583За даними таблиці 1.6 будуємо гістограму (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Гістограма

Для побудови полігону частот і полігону відносних частот обчислимо середини кожного інтервалу за формулою µ §. Отримаємо: µ §; µ §; µ §; µ §; µ §; µ §; µ §; µ §.

Розрахуємо відносні частоти за формулою (1.1): µ §;µ §.

Результати оформимо у вигляді таблиці (табл. 1.7), останній стовпець якої будемо використовувати для перевірки правильності розрахунків.

Таблиця 1.7

сі8,4513,1317,8122,4927,1731,8536,51Перевіркаni156121583µ §wi0,020,10,120,240,30,160,06µ §За даними таблиці 1.7 будуємо полігон частот (рис. 1.4) і полігон відносних частот (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Полігон частот

Рис. 1.5. Полігон відносних частот

Для побудови емпіричної функції розподілу обчислимо за формулою (1.4) суму відносних частот варіант, менших за µ § (тобто µ §). Як х беремо ліву границю кожного інтервалу. Отримаємо:

якщо µ §, то µ §, оскільки таких значень Х немає;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §, то µ §;

якщо µ §,то µ §;

якщо µ §, то µ §

µ §;

якщо µ §, то µ §



µ §;

якщо µ §, то µ §

µ §;

якщо µ §, то µ §



µ §.

Останнє значення функції розподілу позначає, що всі значення Х менше за 38,87.

Для знаходження емпіричної щільності розподілу обчислимо µ § за формулою (1.5). Результати обчислень надано у таблиці 1.8.

Таблиця 1.8

аі6,1110,7915,4720,1524,8329,5134,1938,87wi0,020,10,120,240,30,160,06µ §Fi00,020,120,240,480,780,941µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §µ §fi0,00430,02140,02560,05130,06410,03420,0128За даними таблиці 1.8 будуємо графік емпіричної функції розподілу (рис. 1.6) та емпіричної щільності розподілу (рис. 1.7).

Рис. 1.6. Графік емпіричної функції розподілу

Рис. 1.7. Графік емпіричної щільності розподілу

1.3. Числові характеристики статистичних рядів


1.3.1. Поняття про оцінки параметрів

Генеральну сукупність Х можна розглядати як випадкову величину. Тоді вибірка значень Х ЁC це емпіричний закон розподілу випадкової величини. Для дискретних і неперервних випадкових величин визначені числові характеристики, основними з яких є математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Числові характеристики випадкових величин часто є параметрами їх розподілів. Аналогічно числові характеристики визначені і для статистичних рядів, це ЁC вибіркове середнє, вибіркове середнє геометричне, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення і т. ін.

У прикладних задачах часто необхідно визначити за даними вибірки закон розподілу випадкової величини, що є однією із основних задач математичної статистики. При цьому вибіркове середнє вважається оцінкою (аналогом) математичного сподівання, вибіркова дисперсія ЁC оцінкою дисперсії, вибіркове середнє квадратичне відхилення ЁC оцінкою середнього квадратичного відхилення. При цьому виникає питання: наскільки правомірні такі оцінки?

Оцінки параметрів повинні відповідати таким вимогам.

Незсуненість. Це позначає, що при проведенні великої кількості спостережень (вимірювань) з вибірками одного об’єму оцінка параметру, отримана з кожної вибірки, прямує до істинного значення цього параметру генеральної сукупності.

Спроможність. Зі збільшенням об’єму вибірки оцінка прямує до значення відповідного параметру генеральної сукупності з ймовірністю, що дорівнює 1.

Достатність. Оцінка містить всю необхідну інформацію.

Ефективність. Оцінки, отримані за вибірками однакового об’єму, мають мінімальну дисперсію.

Зауваження. При використанні оцінок необхідно пам’ятати, що вони отримуються тільки при певних передмовах і, відповідно, дійсні тільки при виконанні цих передмов.

Для оцінювання параметрів розподілу за даними вибірки зазвичай використовується метод максимальної правдоподібності. Але він застосовується тільки тоді, коли відомий закон розподілу.


1.3.2. Числові характеристики положення

Основною числовою характеристикою статистичного ряду є середня арифметична, звана також вибірковим середнім.

Вибірковим середнім називається величина µ §яка обчислюється за формулою:

µ §. (1.6)

У разі інтервального статистичного ряду як хi вибирається середина i-го інтервалу.

Якщо вибірка містить незгруповані дані, то вибіркове середнє розраховується за формулою:

µ § (1.7)

Зауваження. Оскільки статистичний ряд є емпіричним законом розподілу величини Х, то вибіркове середнє зазвичай вважається аналогом або оцінкою математичного сподівання випадкової величини Х. Хоча це твердження безумовно вірне тільки для нормального закону розподілу.

Вибірковим середнім геометричним називається величина µ §, яка обчислюється за формулою:

µ §. (1.9)

Середнє геометричне застосовується як центральна тенденція тоді, коли значення Х змінюються с постійним співвідношенням між попереднім і наступним значеннями, тобто якщо µ § (наприклад, збільшення капіталовкладень, експлуатаційні витрати і т. ін.).

Модою Мо називається таке значення величини Х, яке спостерігається у вибірці з найбільшою частотою. У випадку інтервального статистичного ряду мода розраховується за формулою:

µ § (1.10)

де µ § ЁC початок інтервалу, якому відповідає найбільша частота (такий інтервал називається модальним);

nMo ЁC частота у модальному інтервалі;

nMo-1 , nMo+1 ЁC частоти в попередньому і наступному інтервалах відповідно.

Зауваження. Мода не застосовується тоді, коли гістограма або полігон частот показують наявність двох або більше вершин („піків”).

Медіаною Ме називається таке значення величини Х, яке розділяє вибірку, елементи якої розташовані у порядку зростання, на дві рівні за об’ємом частини.

Якщо це вибірка значень дискретної випадкової величини, то медіаною є те її значення, яке розташовано всередині, якщо кількість членів ряду непарна: тобто це елемент з номером µ §. Якщо кількість елементів вибірки парна, то медіана дорівнює середньому арифметичному її членів з номерами µ § та µ §.

Якщо розглядається вибірка неперервної випадкової величини, то медіана розраховується формулою:

µ §, (1.11)

де µ § ЁC фактична нижня границя медіанного інтервалу;

µ § ЁC сума частот, що накопичена до початку медіанного інтервалу;

µ § ЁC частота в медіанному інтервалі.

Зауваження. На значення медіани не впливають змінення значень крайніх елементів впорядкованої вибірки, тому її часто застосовують як центральну тенденцію тоді, коли крайні елементи вибірки значно відрізняються від інших її елементів.
1.3.3. Числові характеристики розсіювання

Варіаційним розмахом R називається різниця між максимальним ї мінімальним елементом вибірки:

µ §. (1.12)

Вибірковою дисперсією S2 називається середня арифметична квадратів відхилень варіант від їх вибіркової середньої:

µ § (1.13)

або µ §. (1.14)

Дисперсія є показником розсіювання елементів вибірки відносно їх середнього значення. Вибіркова дисперсія, отримана за формулою (1.14), називається незсуненою оцінкою дисперсії генеральної сукупності.

Різниця дисперсій, отриманих за формулами (1.13) та (1.14) зазвичай невелика, однак може вплинути на точність оцінок. Тому, якщо відомо точне значення математичного сподівання, використовують формулу (1.13), в іншому випадку ЁC формулу (1.14).

Якщо дані не згруповані, то дисперсію можна розрахувати за формулою:

µ § (1.15)

Вибірковим середнім квадратичним відхиленням S називається величина, що дорівнює кореню з вибіркової дисперсії:

µ §. (1.16)

Вибіркове середнє квадратичне відхилення теж є показником розсіювання елементів вибірки відносно їх середнього значення, але, на відміну від дисперсії, воно має ті одиниці вимірювання, які мають елементи вибірки.

Коефіцієнтом варіації v називається величина, що дорівнює процентному відношенню вибіркового середнього квадратичного відхилення до модуля вибіркової середньої:

µ §. (1.17)

Якщо коефіцієнт варіації більший за 100%, то елементи вибірки неоднорідні і вона не може бути використана у подальших дослідженнях.


Приклад 1.3. За даними вибіркового дослідження відомі ціни хі певного товару у різних торгівельних організаціях (табл. 1.9). Знайти всі можливі числові характеристики за даними таблиці.

Таблиця 1.9

Організація12345678Ціна100110115125140145145150Розв’язок. За незгрупованими даними таблиці 1.9 можна знайти: вибіркове середнє за формулою (1.7), медіану, розмах варіації за формулою (1.12), дисперсію за формулою (1.15), вибіркове середнє квадратичне відхилення за формулою (1.16), коефіцієнт варіації за формулою (1.17). Кількість елементів вибірки µ §. Вибіркове середнє µ §.

Кількість елементів вибірки парна, тому медіана дорівнює середньому арифметичному її членів з номерами µ § та µ §: µ § µ § µ §.

Розмах варіації µ §.

Для розрахунку вибіркової дисперсії складемо таблицю 1.10.


Таблиця 1.10

хі100110115125140145145150µ §-28,75-18,75-13,75-3,7511,2516,2516,2521,25µ §826,563351,56189,0614,063126,56264,06264,06451,56µ §=µ §=310,938.



Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6




База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2020
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка