Математический бой



Скачати 139.05 Kb.
Дата конвертації04.01.2018
Розмір139.05 Kb.
ТипУрок

Математический бой

по теме: "Логарифмические уравнения"

Эпиграф урока. " С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов - нашей десятичной системы нумерации". Я.В. Успенский

Цели урока: 1) Проверить теоретические и практические навыки в решении логарифмических уравнений.

2) Познакомить учащихся с историческим материалом темы.

3) Развивать логическое мышление, прививать вкус к самостоятельной

творческой работе.



План урока.

1. Знакомство с условиями игры.

2. Конкурс теории.

3. Конкурс капитанов.

4. Математический бой.

5. Историческая справка.

6. Итог боя.
Ход урока.

1. Знакомство с условиями игры.

Класс разбивается на 2 команды, выбираются капитаны (наиболее знающие ребята), выбирается жюри.

В жюри входят 3-4 человека. Члены жюри могут быть заранее подготовлены по решениям данных заданий и с ними проговорены все вопросы по заданиям. Интереснее игра идет, когда учащиеся, члены жюри, находятся в равных условиях с командами.

Командам и жюри выдаются одинаковые задания. Дается время на их решение (групповым способом, здесь важна особенно роль капитана, его организаторские способности в распределении функций в команде). Затем идет обсуждение заданий.



Задания математического боя.

Решить уравнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)



2. Конкурс теории.

Пока команды и жюри решают, проводится конкурс теории: вызываются по 4 человека из команды, которые отвечают теоретические вопросы, (тянут жребий) связанные со свойствами логарифмов.



Вопросы теории.

1. Определение логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы, примеры.

2. Вывод основного логарифмического тождества. Привести примеры его использования.

3. Вывод формулы логарифма произведения. Примеры ее использования.

4. Вывод формулы логарифма частного. Примеры ее использования.

5. Вывод формулы логарифма степени. Примеры ее использования.

6. Вывод формулы перехода от одного основания логарифма к другому. Примеры ее использования.

7.Логарифмическая функция.

8. Доказать свойство монотонности логарифмической функции.

3. Конкурс капитанов.

После истечения времени, которое было дано на решение заданий, право первой начинать игру получает та команда, чей капитан быстрее и правильнее решит уравнение. Капитаны оба решают одно и то же уравнение (за отдельными столами или переносными досками).



4. Математический бой.

Пусть капитан команды №1 лучше справился с заданием, его команда начинает игру. Каждый из членов команды может выступать только один раз при решении заданий или в роли оппонента, который задает вопросы по решению этой задачи. Команда может называть задание только то, которое решила или думает, что решила сама.

Например, команда № 1 просит команду № 2 показать решение уравнения под №2, т.е.

Если команда №2 решила это задание, то ее представитель приступает к решению этого уравнения. Оппонент команды №1 задает вопросы по решению данного уравнения.

Например:1) сформулировать свойства логарифмов, которые применялись при решении данного уравнения. 2) Зачем нужна проверка при решении данного уравнения? 3) Какие уравнения называются равносильными?

В случае, когда команда №2 представила неверное решение, тогда свое решение предлагает команда №1. Бывает, что и ее решение не верно, тогда слово предоставляется членам жюри. Если и они не справились с заданием (в том случае, когда их не готовили заранее), тогда решение этого уравнения показывает учитель (для этого надо иметь все решения в электронном виде, с дальнейшей демонстрацией на интерактивной доске).

В случае правильного решения, жюри выставляет команде №2 в табло игры 5 баллов. Если оппонент задал достаточно много вопросов по решению уравнения, его работа также оценивается 5 баллов и заносится в табло игры команды №1. Жюри задает вопросы, если оппонент недостаточно опрашивал своего соперника. При отсутствии технических средств, чтобы не задерживать игру, команды №2 задает номер уравнения команде №1, придерживаясь тех же правил.

Например, пусть команде №1 задано решить уравнение №3, т.е.



Пока представители команд решают, можно послушать доклады. Если идет работа с использованием компьютера, то игра проходит быстро. Далее слушаем решение команды №1, по той же схеме. Игра проходит до тех пор, пока не будут рассмотрены все уравнения.



5) Историческая справка.

Представители команд готовят доклады по следующим темам.

1) Из истории логарифмов.

2) История создания таблиц логарифмов.



6) Итог урока.

Жюри проводит итоги, оценивает ответы всех участников игры.



Табло игры.

Количество баллов

Команда №1

Команда №2

 

 

Из истории логарифмов.

Изобретение логарифмов в начале XVII века тесно связано с развитием производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны были быть результаты вычислений. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий III ступени ( возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям II ступени (умножению и делению), а последних-

к самым простым, к действиям I ступени (сложению и вычитанию).

Происхождение этой идеи связано с сопоставлением двух числовых последовательностей следующего вида:



Первая – последовательность чисел – представляет собой арифметическую прогрессию, вторая – геометрическую. Произведение любых двух членов второй последовательности является членом этой же последовательности, получаемым путем возведения а в степень, равную сумме соответствующих членов первой последовательности. Эта идея была четко выражена еще в «Исчислении песчинок» Архимеда. Сопоставлением последовательностей в целях умножения и деления чисел пользовались Шюке, Пачоли и др.

В «Полной арифметике» (1544 г.) М. Штифель продолжает ряды и влево, т.е. включает отрицательные члены и впервые называет члены первого ряда экспонентами, т. е. показателями соответствующих членов второго ряда. При этом он пишет: «Сложением в арифметическом ряде соответствует умножению в арифметическом ряде, равным образом вычитание в первом – делению во втором; простому умножению в арифметическом ряде соответствует умножение на себя (возведение в степень) в геометрическом ряде, а деление в арифметическом ряде - извлечению корня в геометрическом ряде».

Таким образом, уже в середине XVI в. были разработаны основы учения о логарифмах. Не хватало полезных, конкретных методов для широкого практического применения этих основ в вычислительной математике, не хватало основанных на осознанной идее логарифмических таблиц.



История создания таблиц логарифмов.

Изобретение логарифмов, название их и первые таблицы логарифмов принадлежат шотландскому любителю математики Джону Неперу (1550 -1617), хотя раньше его составил первые таблицы логарифмов также любитель математики - часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И. Бюрги (1552-1632), работавший вычислителем с астрономом И. Кеплером. Однако таблицы Бюрги были опубликованы в 1620 г., а таблицы Непера появились в 1614 г. Составлением логарифмических таблиц эти талантливые люди занимались параллельно, но независимо один от другого. При составлении таблиц оба они руководствовались идеей, высказанной еще Архимедом, а затем более подробно исследованной М. Штифелем в работе " Полная арифметика" .

Разработка идеи Архимеда и Штифеля приводит к понятию логарифма. Из различных систем логарифмов замечательны две: логарифмы с иррациональным основание е = 2,7182818284…, которые носят название натуральных, и системы логарифмов с основанием 10, называемые десятичными логарифмами.

Допустим, в равенстве х = а у y получает последовательно значения: 0,1,2,3,4,…, у, у +1 (2),тогда х выражается так:1, а1, а2, а3, а4, …, а у, а у+1.(3) Ряд (2) – прогрессия арифметическая, а ряд (3) – прогрессия геометрическая. Члены арифметической прогрессии (2) являются по сути логарифмами при основании а. Но в те времена показатели степени еще не употреблялись.

Непер и Бюрги должны были решить, какое число взять за основание, чтобы ряд (3) был гуще, т.е. чтобы разность между двумя соседними членами (∆х) была бы возможно меньше. Поэтому Непер воспользовался последовательностью чисел 1-10 -7 = 0,9999999, а Бюрги – 1 + 10 -4. Иными слова, первый использовал равенство

х = (1 – 10 -7) у, а второй -х = (1 + 10 -4) у.

И. Бюрги начал свои вычисления и составление таблиц логарифмов в 1603 г. В 1611 г. Бюрги завершил составление таблиц и по настоянию И. Кеплера решил их опубликовать, но напечатаны они были только в 1620 г. Однако таблицы Бюрги не получили широкого распространения, т.к. прежде появились таблицы Непера.

Таблицы Непера значительно упрощали труд вычислителя, но они все же были далеки от совершенства. Поэтому он вместе со своим другом профессором Генри Бриггсом (1561-1631) занялся составлением десятичных логарифмов. Вычисление этих логарифмов закончил после смерти Непера Бриггс и опубликовал в 1624 г. в "Логарифмической арифметике". Четырехзначные десятичные логарифмы Бриггса содержали целые числа от 1 до 20000.

В 1628 г. голландский математик Андриан Влакк дополнил десятичные таблицы целых чисел от 1 до 100000. На основе этих таблиц в 1703 г. были напечатаны в России "Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов тщанием и за освидетельствованием математических и навигацких школ учителей Андрея Фархварсона, Стефана Гвина и Леонтия Магницкого".

Многолетний труд талантливых и трудолюбивых математиков, затраченный на составление таблиц, впоследствии сторицей окупился тем, что тысячам вычислителей сохранил многие годы их жизни, сэкономив время при выполнении разнообразных сложных расчетов.
ДОДАТКИ

Застосування логарифмів та логарифмічної функції


Математика
Логарифм – з грецької означає “логос”- відношення і “аритмос”- число.

Його винахід пов’язаний з двома постатями: швейцарцем Іобстом Бюргі(1552-1632), знаним годинникарем і майстром майстром астрономічних інструментів, і шотландцем Джоном Непером (1550-1617), який теж не був математиком за професією, астрономія була його «хобі». А Бюргі працював разом з астрономом Іоганном Кеплером. Саме величезний обсяг необхідних в астрономії обчислень і спонукав Бюргі і Непера шукати шляхів для їх спрощення. 20 років присвятив Непер своїм логарифмічним таблицям, аби, за його словами, «позбутися нудних і тяжких обчислень, відлякують зазвичай багатьох від вивчення математики». Обидва автори прийшли до своїх таблиць незалежно один від одного. Вони склали таблиці так званих натуральних логарифмів. Бюргі працював над таблицями 8 років і видав їх у 1620 році під назвою «Арифметична і геометрична таблиця прогресії». Проте його таблиці не отримали широкого поширення, бо Непер видав свій «Опис дивовижної таблиці логарифмів» на 6 років раніше. Тому і визнали число e неперовим числом.

Ідея десяткових логарифмів виникла у професора лондонського коледжу Генрі Брігса(1561-1630) після ознайомлення з таблицями Непера. Він двічі побував у Непера, здружився з ним і в процесі спільних занять обидва розробили нову, практично зручнішу десяткову систему, засновану на порівнянні прогресії.

Брігс взявся розробити велику таблицю десяткових логарифмів. Уже в 1617 р. він опублікував восьмизначні таблиці логарифмів від 1 до 103, а в 1624 році спромігся видати «Логарифмічну арифметику», що містила чотирнадцятизначні таблиці логарифмів для чисел 1-20000 і 90000-100000.

Понад три з половиною сторіччя з тих пір, як у 1614 році були опубліковані Непером перші логарифмічні таблиці, вони вірою і правдою служили астрономам і геодезистам, інженерам і морякам, скорочуючи час на обчислення і, як сказав французький вчений Лаплас (1749-1827), продовжуючи життя обчислювачам.

Ще донедавна важко було уявити собі інженера без логарифмічної лінійки в кишені. Винайдена в 1624 році англійським математиком Едмундом Гунтером (1581-1626), вона дозволяла швидко одержувати відповідь з достатньою для інженера точністю до трьох значущих цифр. І хоч тепер її витіснили калькулятори і комп’ютери, проте можна сміливо сказати, що без логарифмічної лінійки не було і перших комп’ютерів.


Логарифмічна спіраль – це крива, яка перетинає всі кути, що виходять із однієї точки О, під одним і тим же кутом α.

Рівняння (в полярних координатах) має вигляд: .

Таку криву описує рухома точка, відстань від полюса якої росте в геометричній прогресії, а кут, що описується її радіусом-вектором, - в арифметичній.

Характерні особливості логарифмічної спіралі:


  • Має нескінченну кількість витків як при розкручуванні так і при скручуванні;

  • Не проходить через свій полюс;

  • Її називають рівнокутною спіраллю;

  • В будь-якій точці спіралі кут між дотичною до неї та її радіус-вектором зберігає постійне значення;

  • При різних перетвореннях (гомотетії, повороті) вона залишається незмінною.

  • Має широке застосування в технічних приладах.

  • Властивості цієї кривої так вразили Якоба Бернуллі, що він назвав її spira mirabilis (чудова спіраль) і заповів зобразити її на його могилі з написом Eatemmutata resurgo (перетворювана, відроджуюся знову).

ФІЗИКА
Фізика завжди вимагає математичних розрахунків, тому знання математики у фізиці завжди необхідне. Ось декілька формул, де використовуються логарифми.




  • Робота, яку виконує газ при ізотермічному процесі

m – маса газу;

µ - молярна маса газу;

R – універсальна газова стала;

Т – температура за Кельвіном;

V - об’єм газу;

P – тиск газу.


  • ємність циліндричного конденсатора:

L – висота циліндра;

R, r – радіуси внутрішнього та зовнішнього циліндра;

e – техн. характеристики конденсатора;



  • Ємність дільниці одиничної довжини двох провідної лінії

r – радіус провідника



  • Зв’язок між сталою розпаду, середнім часом життя і періодом піврозпаду Т

t – середній час життя;

Т – період піврозпаду;


  • Рівень інтенсивності звуку



- умовно нульовий рівень

  • Ентропія

S=kln

К – стала Больцмана;

Ω - термодинамічна імовірність ;

S – ентропія;




  • Зміна ентропії при ізотермічному стисканні газу

R – універсальна газова стала

µ - молярна маса газу

m – маса газу;

V – об’єм газу

У техніці часто застосовуються ножі, що обертаються. Сила, з якою вони тиснуть на матеріал, що розрізається, залежить від кута розрізання, тобто кута між лезом ножа і напрямом швидкості обертання. Для того, щоб тиск був сталим, потрібно щоб залишався сталим кут розрізання, а це буде у тому випадку, коли леза ножів будуть окреслені по дузі логарифмічної спіралі. Завдяки цьому лезо ножа сточується рівномірно.


Якщо літак буде летіти, дотримуючись весь час одного курсу, тобто перетинаючи всі меридіани під одним і тим самим кутом, то його шлях зобразиться на карті логарифмічною спіраллю.


У гідротехніці по логарифмічній спіралі вигинають трубу, що підводить потік води до турбіни. Завдяки такій формі труби втрати енергії при зміні напряму течії в трубі виявляються мінімальними і напір води використовується з максимальною продуктивністю.


Хімія
Розчини в природі можуть мати різну реакцію середовища: кислу, лужну, нейтральну,що характеризується різною концентрацією йонів Гідрогену С( Н+).Для зручності датським біохіміком С.Сьоренсеном у 1909 році було введено термін «водневий показник» (рН), –це значно спростило роботу багатьом поколінням хіміків.

Водневий показник - це від'ємний десятковий логарифм концентрації йонів Гідрогену

рН= - lg С( Н+)

Значення рН може змінюватись від 1 до 14

Наприклад, С( Н+)=10-7,рН=7;

С( Н+)=10-2 ,рН=2.

У нейтральному – рН=7.

У кислому середовищі рН<7, у лужному рН>7,



Показник рН в біологічних розчинах


Рідина

рН

Рідина

рН

Шлунковий сік

1,4

Сеча

6,0

Сік лимона

2,1

Слина,молоко

7,4-8

Сік яблук "Антонівка"

2,5

Слюзи

7,0

Томатний сік

4,1

Кров

7,4
З таблиці видно, що різні розчини в людському організмі мають різний рН, його відхилення від норми спричиняє захворювання і навіть загибель організму. Людям з підвищеною кислотністю шлункового соку рекомендується пити мінеральну воду з меншою концентрацією йонів Н+ (тобто з вищим рН),а зі зниженою кислотністю - "кислішу" воду(з нижчим рН).

Використовуючи різні засоби особистої гігієни, креми для шкіри, ліки, необхідно враховувати значення рН. Більшість рідких косметичних засобів має рН 5,5. Відповідний вміст у них катіонів Н+ оптимальний для нашої шкіри.



У сільському господарстві кислотність грунтового розчину є одним із головних чинників, що впливають на врожай. Так, картопля найкраще росте на слабокислих грунтах (рН≈5), а буряк на нейтральних (рН≈7).


БІОЛОГІЯ
Можна сказати, що спіраль є математичним символом співвідношення форми і зростання.

Великий німецький поет Йоганн-Вольфганг Гете вважав її символом життя і духовного розвитку.

Логарифмічна функція виникає у зв'язку з найрізноманітнішими природними формами. По логарифмічних спіралях розташовуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus, роги гірського барана і дзьоби папуг. Один з павуків, епейра, сплітаючи павутиння , закручує нитки навколо центра по логарифмічним спіралям.


Нічні метелики, які пролітають величезні відстані, орієнтуючись по паралельним промінням місяця, інстинктивно зберігають прямий кут між напрямом руху і променем світла. Якщо вони орієнтуються на точкове джерело світла, інстинкт їх підводить, і метелики потрапляють в полум’я по логарифмічної спіралі, що скручується.

МУЗИКА
Розкопуючи одне з поселень кам’яного віку на території України, археологи знайшли кілька кісток мамонта, призначення яких було їм не зрозуміле. Лише уважний аналіз показав, що на цих кістках залишилися сліди ударів - це були залишки шумового оркестру, під звуки якого стародавні люди виконували магічні танці. Пізніше помітили, що більш приємні звуки можна отримати, зробивши барабан або просвердливши шматок дерева, щоб вийшла сопілка. А звучання тятиви лука? Воно навело на думку про створення струнних інструментів.

Піфагор був не тільки великим математиком, а й хорошим музикантом. Він встановив, що приємні сполучення звуків відповідають певним співвідношенням між довжинами струн, що коливаються, або відстаням між дірочками сопілки. Саме він створив першу математичну теорію музики, і хоча музиканти не дуже люблять перевіряти „алгеброю гармонію”, вони весь час мають справу з математикою, бо сучасна гама ґрунтується на логарифмах.

Будемо називати найнижчу октаву нульовою; а кількість коливань ноти do цієї октави за 1 секунду приймаємо за 1.Тоді нота do першої октави буде робити в два рази більше коливань. Позначимо всі ноти хроматичної гами номерами р , приймаючи за нульовий перший тон кожної гами. Тоді тон sol буде 7-й, la -9-й, 12-й тон буде знову do, тільки октавою вище.

Тому кожен наступний тон в разів має більше коливань, ніж попередній.

Позначимо Npm – кількість коливань тону з номером р із m-ї октави.

Nmp=2 ( )=2·2= 2+

Про логарифмуємо обидві частини останньої нерівності:



logNmp= m+

Звідси видно, що номери клавіш рояля являють собою логарифми кількості коливань відповідних звуків. Номер октави – характеристика ( тобто ціла частина) логарифма, а номер звука в даній октаві - його мантиса ( тобто дробова частина

Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка