М. Є. Коренков, І. П. Головенко Теорія міри І інтеграла (курс лекцій)



Сторінка1/3
Дата конвертації17.11.2018
Розмір1.96 Mb.
ТипКурс лекцій
  1   2   3


М. Є. Коренков, І. П. Головенко


Теорія міри і інтеграла

(курс лекцій)

Луцьк – 2008
УДК 517.51(07)

ББК 22.161я73

Рекомендовано до друку вченою радою Волинського державного університету імені Лесі Українки (протокол №1 від 25 вересня 2003 року).


Рецензенти:

Середа В. Ю., професор кафедри вищої математики Луцького технічного університету, канд. фіз.-мат. наук.

Філозоф Л. І., завідувач кафедри математичного аналізу ВНУ імені Лесі Українки, канд. фіз.-мат. наук.

  Коренков М. Є., Головенко І. П.



К66  Теорія міри і інтеграла (курс лекцій). – Луцьк: Волинська обласна друкарня, 2008. – 60 с.

Розглянуто основні класи множин та елементи загальної теорії міри і інтеграла.

УДК 517.51(07)

ББК 22.161я73



Передмова

Теорія міри і інтеграла Лебега була розроблена на початку ХХст. в зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант цієї теорії тепер є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики (теорія ймовірностей, функціональний аналіз, теорія оптимізації, математичні методи економіки і т. і.).

Цей посібник присвячений загальній теорії міри і інтеграла. Як часткові її випадки розглянуто тут міру Лебега і Жордана в просторі а також міру Лебега-Стілтьєса на прямій. Розглянуто тут також теорію вимірних функцій та різні види збіжності послідовності функцій, теорію інтеграла Лебега і питання про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега, з'ясовано зв'язок між лебеговим та рімановим інтегралами.

Автори вдячні студентам математичного факультету ВНУ імені Лесі Українки Демчук В. Л., Горбач С. І., Стельмащук Л. В., Пугач Т. В., Грицюк І. А., за якісну підготовку курсу лекцій до опублікування.



Розділ І. Міра.

§1.1 Множини метричного простору.

Нагадаємо тут деякі поняття і факти, які будуть використовуватися пізніше. Через  будемо позначати відповідно множину натуральних чисел, кільце цілих чисел, поля раціональних, дійсних та комплексних чисел.

Якщо - деяка непорожня множина, то через позначимо сукупність всіх підмножин цієї множини, . Очевидно, . Відомо, що різниця , де і - довільні множини, , називається доповненням множини (до множини ) і позначається або тобто .

Для довільної сукупності множин таких, що при  , де - скінченна або нескінченна множина індексів , справедливі рівності



, ,

які називаються законами двоїстості або законами де Моргана.

Множини називаються диз’юнктивними, якщо . Обєднання таких множин позначається .

Відомо, що дві функції і називаються рівними (співпадаючими), якщо  і .

Якщо , то функція  така, що , називається звуженням функції  на множину і позначається . При цьому функція називається продовженням (поширенням) функції із множини на множину .

Нагадаємо, що множина , , називається замкнутою в метричному просторі  з метрикою , якщо вона містить всі свої граничні точки. Множина , , називається відкритою в метричному просторі , якщо кожна точка множини є внутрішньою точкою для неї, тобто належить разом зі всіма точками деякого свого околу. Відомо, що множина , , є відкрита (замкнута) в метричному просторі тоді і лише тоді, коли множина замкнута (відкрита) в .

Очевидно відкрита  та замкнута, , , , кулі метричного простору є відповідно відкрита та замкнута множини в .

Справедливі наступні твердження:



  1. якщо замкнуті множини і - відкриті множини метричного простору ,  ,   , то при довільному , , множина  замкнута, а множина  відкрита в .

  2. якщо - довільна скінченна або нескінченна множина індексів і множини , при  , та ,  при  , відповідно замкнуті та відкриті в метричному просторі  , то множини  ,  є відповідно замкнута та відкрита в .

Можна показати, що кожна непорожня відкрита множина метричного простору ,  (тобто відкрита множина на числовій прямій) є або вся множина або обєднання не більш ніж зчисленної сукупності інтервалів (обмежених або необмежених), які попарно не перетинаються і кінці яких не належать (вони називаються складовими інтервалами множини ).

Кожна замкнута множина метричного простору є або вся множина або утворюється шляхом вилучення із не більш ніж зчисленної сукупності інтервалів, які попарно не перетинаються і кінці яких належать , якщо ці кінці не є символи та  (такі інтервали називаються суміжними інтервалами для ).

Якщо ,  - дві фіксовані точки із ,  такі, що , то множина  називається півінтервалом в або піввідкритим паралелепіпедом в .

Можна показати, що кожна непорожня відкрита множина із метричного простору , де , , , є або вся множина або обєднання зчисленної сукупності півінтервалів із , які попарно не перетинаються. Вказане обєднання не може складатися зі скінченної сукупності півінтервалів.

З іншого боку, як можна показати, кожна непорожня відкрита множина із є або вся множина або обєднання не більш ніж зчисленної сукупності відкритих куль простору .

§1.2 Основні класи множин.

Нехай - довільна непорожня множина, .



Означення. Непорожній клас підмножини множини , , називається:

  1. півкільцем, якщо ,  і ;

  2. кільцем, якщо .

Зрозуміло, що кожне півкільце замкнуте відносно операції перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто .

Кожне кільце містить порожню множину і воно замкнуте відносно операцій перетину двох множин із нього та утворення симетричної різниці двох множин, що випливає із рівностей , , , де . Зрозуміло, що кільце замкнуте відносно обєднання та перетину довільної скінченної кількості множин із нього, тобто .

Очевидно, кожне кільце множин є півкільце множин, але не кожне півкільце є кільце.

Множина , , називається одиницею класу множин , , якщо .

Кільце з одиницею називається алгеброю множин.

Приклад 1. Сукупність , , всіх обмежених підмножин множини разом із порожньою множиною є кільце без одиниці, тобто не є алгебра множин.

Приклад 2. Якщо , то клас

піввідкритих паралелепіпедів



метричного простору  разом із порожньою множиною утворює півкільце без одиниці, . Це півкільце не є кільце, оскільки ні операція обєднання множин, ні операція віднімання множин не є замкнутими в . Очевидно півкільця ,



являють собою сукупності відповідно всіх піввідкритих проміжків  числової прямої  та всіх піввідкритих прямокутників  координатної площини разом із порожньою множиною.

Кільце , , називається -кільцем ( -кільцем), якщо воно замкнуте відносно операції обєднання (операції перетину) зчисленної сукупності множин із , тобто, якщо для кожної послідовності  множин  виконується .

Можна показати, що кожне -кільце є -кільце, але не кожне -кільце є -кільце. Очевидно, кільце із прикладу 1 є -кільце, що не є -кільцем.

Довільне -кільце ( -кільце) множин, що містить одиницю, називається -алгеброю ( -алгеброю) множин. Виявляється, що поняття -алгебри та -алгебри множин рівносильні (це випливає із законів де Моргана).

Приклад 3. Сукупність , , де - довільна множина, є -алгебра множин із одиницею .

§1.3 Породжені класи множин.

Нехай - довільний непорожній клас множин, . Можна показати, що існує єдине кільце , яке включає клас і яке включається в кожне інше кільце, що включає і включається в . Таке кільце називається мінімальним кільцем над класом або кільцем, породженим класом . Кільце можна означити також за допомогою рівності:



( - кільце),

оскільки перетин довільної сукупності кілець , , є кільце.

Аналогічно можна означити алгебру , -кільце , -алгебру , які породжені класом множин (які мінімальні над класом ). Зокрема, це можна зробити наступним способом:

, , ,

де , , є відповідно довільні алгебра, -кільце та -алгебра, що включають і включаються в .

Якщо - довільне півкільце, , то кільце , що породжене півкільцем , є сукупність усіх найможливіших множин , , які можна записати у вигляді , Наприклад, кільце , що породжене півкільцем усіх піввідкритих прямокутників із , є сукупність усіх найможливіших елементарних множин із , тобто множин, які являють собою скінченні об’єднання піввідкритих прямокутників із , які попарно не перетинаються (разом з множиною ).

Якщо - довільний метричний простір і - клас усіх відкритих множин цього простору, , то мінімальна -алгебра (G) над класом G називається -алгеброю борелевих множин цього метричного простору і позначається B , B ( G).

Можна довести наступні твердження:


  1. Якщо , де - відкрита куля метричного простору , то B ;

  2. Якщо F - клас усіх замкнутих множин метричного простору , то B (F) , де - замкнута куля цього простору;

  3. Кожна одноелементна та кожна зчисленна множини точок метричного простору є борелеві множини;

  4. Множини точок метричного простору зі стандартною метрикою , заданою на , є борелеві множини (належать B );

  5. Якщо B - -алгебра борелевих множин метричного простору , то B §1.4. Функції, визначені на класах множин. Поняття міри.

Нехай - довільна непорожня множина і - довільний непорожній клас підмножин множини , . Позначимо . Будемо розглядати тут функції виду .

Означення 1. Функція , що визначена на класі множин називається на :

  1. невід'ємною, якщо ;

  2. скінченно-аддитивною, якщо

;

  1. зчисленно-аддитивною або -аддитивною, якщо

(причому сума ряду може дорівнювати і );



  1. скінченою, якщо ;

  2. неспадною, якщо ;

  3. -скінченною, якщо .

Очевидно, якщо і -скінченно-аддитивна функція на і , то 0.

Це випливає зі співвідношень .

Окрім того, як можна показати, якщо функція зчисленно-аддитивна на , то вона і скінченно-аддитивна на ,але не кожна скінченно-аддитивна функція є -аддитивна на .

Означення 2. Функція , називається мірою, якщо -півкільце множин і функція невід’ємна та -аддитивна на .

Зазначимо, що 0 для міри такої, що . Скрізь нижче розглядатиметься лише така міра на півкільці , для якої остання умова виконується.

Функція , що визначена на півкільці , , називається скінченно-аддитивною мірою, якщо вона невід’ємна і скінченно-аддитивна на .

Зрозуміло, що міра є скінченно-аддитивна міра, але не кожна скінченно-аддитивна міра є міра.

Ми будемо розглядати тут в основному міру, хоча деякі твердження, які будуть встановлені, справедливі і для скінченно-аддитивної міри.

Означення 3. Міра на півкільці називається -скінченною (скінченною), якщо функція є -скінченна (скінченна) на .

Приклад 1. Якщо - фіксована точка непорожньої множини , , , то функція така, що , коли , і , коли , для кожної множини , є міра на -алгебрі (на кільці) , причому вона скінченна.

Приклад 2. Якщо - півкільце всіх найможливіших обмежених півінтервалів в разом з порожньою множиною, , то функція така, що , і , є міра на , причому вона скінченна та -скінченна.

Приклад 3. Якщо - півкільце усіх найможливіших піввідкритих прямокутників із разом з порожньою множиною, , то функція така, що , , і , є скінченна та -скінченна міра на .

Основні властивості міри на півкільці , описуються наступними твердженнями:

а) (монотонність міри);

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д) .

На основі останньої властивості доводиться, що міра на півкільці є зчисленно-піваддитивна ( -піваддитивна) функція, тобто



.

Зрозуміло, що останнє твердження, а також властивості г), д), справедливі і для довільних скінчених сукупностей множин та із півкільця .



§1.5 Неперервність міри.

Часто використовується властивість неперервності міри, сутність якої розкриває наступне твердження.



Теорема (про неперервність міри). Міра , що визначена на кільці , є неперервна функція, тобто справедливі твердження:

  1. ;

  2. .

Нехай - довільна послідовність множин з кільця , що задовольняє умови: і . Якщо , то в силу монотонності міри на буде .

Отже, тобто справедливе твердження 1). Якщо , то в силу –аддитивності міри дістанемо

тобто знову справедливе твердження 1).

Аналогічно доводиться твердження 2) .



§1.6 Зовнішня міра та міра породжена нею.

Поняття вимірної множини.

Виявляється, що міру можна побудувати на основі більш широкого поняття, яким є поняття зовнішньої міри.

Означення 1. Функція , де - довільна непорожня множина, називається зовнішньою мірою, якщо виконуються умови:

1)

2) ;

3) .

Зауважимо, що із останньої вимоги випливає

, а також монотонність зовнішньої міри тобто твердження .

Часто використовується зовнішня міра, що побудована наступним способом. Якщо , є міра, що задана на півкільці , то розглянемо функцію таку, що =0, , якщо існує принаймні одне покриття множини , зчисленною сукупність множин із (точна нижня межа відшукується від сукупності сум , які відповідають вказаним покриттям множини ), і , якщо не існує жодного покриття множини , вказаного вище. Можна показати, що функція , побудована вказаним способом, є зовнішня міра. Вона називається зовнішньою мірою породженою мірою , визначеною на півкільці . Ця зовнішня міра, як легко переконатися, володіє властивістю для кожної множини із .

Повертаючись до загального випадку, розглянемо довільну зовнішню міру . Оскільки для довільних множин та із виконується , то

, (1)

причому (1) перетворюється в рівність для кожної множини , такої, що .

Важливим є той випадок, коли (1) перетворюється в рівність, справедливу для фіксованої множини , і довільної множини .

Означення 2. Множина , називається - вимірною (вимірною відносно зовнішньої міри ), якщо



. (2)

Зрозуміло, що умова (2) виконується для всіх множин таких, що . Отже, множина , є - вимірна тоді і лише тоді, коли (2) виконується для всіх множин , таких, що .

Позначимо сукупність усіх - вимірних підмножин множини через , і розглянемо функцію , яка є звуженням функції із на клас тобто таку функцію, що або інакше .

Теорема Каратеодорі. Якщо є довільна зовнішня міра, то сукупність усіх - вимірних множин є -алгебра множин із одиницею , а функція , яка є звуженням функції із на клас , є міра.

Оскільки , то . Якщо , то множина також належить . Справді, , внаслідок - вимірності множина . Очевидно, . Це тому, що і множина є -вимірна.

Покажемо, що є алгебра множин. Нехай та - довільні множини із класу . Тоді при довільній множині , справедливі рівності (внаслідок вимірності ) (внаслідок вимірності  ) , (3)



(внаслідок вимірності G) (4)

Із (3) та (4) випливає, що при довільній множині виконується



Отже, . Окрім того і . Отже, є алгебра із одиницею .

Покажемо, що є -алгебра множин. Нехай - довільна послідовність множин із . Покажемо, що . Оскільки є алгебра множин, то можна вважати, що множини попарно не перетинаються. Тоді для довільної множини , виконується (внаслідок - вимірності ) = , (5)

де , . Із рівності (5) і - вимірності множини випливає, що при довільній множині , виконується . Методом математичної індукції показуємо, що

(6)

при довільному і довільній множині .

Враховуючи - вимірність множини , рівність (6) та монотонність зовнішньої міри, дістанемо, що для довільної множини , виконується .

Переходячи тут до границі при , дістанемо



. (7)

Оскільки і , то дістанемо . Оскільки , то . Отже, для довільної множини , справедливе .

Тому і, отже, є -алгебра множин.

Покажемо -аддитивність функції . Якщо в (7) покласти , де , то дістанемо .

Оскільки справедлива і протилежна нерівність, то .

Отже, є міра на -алгебрі . Теорему доведено.



Зауважимо, що міра , про яку іде мова в доведеній теоремі, називається мірою, породженою зовнішньою мірою .

Ця міра і -алгебра володіють властивостями:



  1. ;

  2. ;



;

  1. .

Зауважимо, що останнє твердження вказує достатню умову - вимірності множини . Можна показати, що

.

Означення 3. Міра , що визначена на півкільці , називається повною, якщо .

Із твердження 2) випливає, що міра , яка породжена довільною зовнішньою мірою є повна міра на -алгебрі .



§1.7 Стандартне продовження міри із півкільця на -алгебру.

Нагадаємо, що функція , називається продовженням (поширенням) функції із класу множин , на клас множин , якщо і . При цьому функція називається звуженням функції із класу на клас і пишуть .

Якщо дано міру , визначену на півкільці , то зразу ж виникає питання про можливість продовження її з півкільця на більш широкий клас множин.

Теорема1. Міра , яка визначена на півкільці , завжди може бути продовжена причому єдиним способом із півкільця до міри визначеної на кільці і таке продовження здійснює міра , яка задається за допомогою формули



, (1)

де - довільна множина з , що записана у вигляді



, (2)

тобто при вказаних умовах . При цьому міра скінченна ( -скінченна), якщо міра скінченна ( -скінченна).

Спочатку зазначимо, що означення міри за допомогою рівності (1) коректне, тобто значення не залежить від запису множин , у вигляді (2). Окрім того із самої рівності (1) випливає, що функція невід’ємна і скінченно-аддитивна на . Покажемо, що функція є зчисленно-аддитивна. Нехай , причому . Множини та можна записати у вигляді

.

Оскільки функція скінченно-аддитивна, то



,

внаслідок того, що . Тому



Очевидно, і на . Оскільки міра на є -аддитивна функція, то . Тому



Отже, -зчисленно-аддитивна міра, що визначена на . Єдиність продовження міри із на доводиться методом від протилежного.

Зауважимо, що перше твердження попередньої теореми справедливе і для скінченно-аддитивної міри на півкільці (тоді є також скінченно-аддитивна міра на ).

Подальше продовження міри (на ширший ніж клас множин) можна здійснити за допомогою поняття зовнішньої міри.

Якщо є довільна зовнішня міра, то як випливає з теореми Каратеодорі, клас усіх -вимірних множин є -алгебра множин із одиницею . Однак, ця -алгебра може виявитися порівняно вузькою – можливо, що , оскільки ця обставина залежить від . Виявляється, що у випадку, коли є зовнішня міра, яка породжена мірою , визначеною на півкільці , то -алгебра є достатньо широкий клас множин, який включає та . При цьому справедливе наступне твердження.



Теорема2. Якщо є міра на півкільці , і є зовнішня міра, що породжена мірою і є міра, яка породжена зовнішньою мірою , то міра є продовження міри із півкільця на -алгебру , , всіх -вимірних множин, тобто , і .

Нам достатньо показати, що ,оскільки тоді рівність , буде випливати зі співвідношень . Оскільки міру можна єдиним способом продовжити з півкільця на кільце , то в формулюванні теореми можна вважати, що - кільце множин.

Нехай . Зафіксуємо число . Візьмемо довільну множину , таку, що . З означення зовнішньої міри , породженої мірою визначеною на півкільці , випливає, що існує така послідовність множин із , що і . Враховуючи знову означення зовнішньої міри, породженої мірою на півкільці (у нас на кільці) та скінчену аддитивність міри на , дістаємо





.

Переходячи тут до границі при , дістанемо



.

Остання нерівність справедлива і коли .

Оскільки справедлива нерівність, що протилежна до попередньої нерівності, то .

Отже, множина , є -вимірна, тобто . Зрозуміло, що .

Означення. Міра із попередньої теореми називається стандартним продовженням (продовженням за Каратеодорі) міри із півкільця на -алгебру , а -вимірні множини при цьому називається -вимірними.

Якщо є довільна міра на півкільці , -зовнішня міра, що породжена мірою , то, як можна показати



,

де -алгебра всіх -вимірних ( – вимірних) множин.

Як випливає із попереднього, стандартне продовження довільної міри із півкільця , на -алгебру , , є повна міра.

Можна показати, що продовження довільної -скінченної міри із кільця , на - кільце єдине і -скінчене.

Якщо є зовнішня міра, що породжена мірою , яка визначена на півкільці , і , то, як можна показати, , де -алгебра усіх -вимірних множин. Іншими словами, при вказаних умовах множина , є -вимірна тоді і лише тоді, коли її з будь-якою точністю можна “наблизити” множинами із . Сукупність , усіх -вимірних множинах таких, що , утворює -кільце. Множина , , є -вимірна тоді і лише тоді, коли . Якщо міра , окрім того, –скінченна, то , де ( ). В цьому випадку, як можна показати, множина , , є –вимірна тоді і лише тоді, коли ( , причому .



Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка