Інформаційний проект: теорема піфагора



Скачати 240.7 Kb.
Дата конвертації14.01.2019
Розмір240.7 Kb.

ІНФОРМАЦІЙНИЙ ПРОЕКТ: ТЕОРЕМА ПІФАГОРА

Автор проекту: Прокопченко Лариса Михайлівна

Склад проектної групи: учні 8 класу

Навчальний рік: 2013

Клас: 8

Епіграф

Чи варто вивчати теорему Піфагора ?

«Тимчасова невдача краще тимчасової удачі».

Піфагор.

Мета проекту: Вміти формулювати теорему Піфагора ,ознайомити учнів зі способами доведення теореми; виробляти у учнів навички використання теореми Піфагора ; формувати у учнів уміння працювати з додатковою літературою,ознайомити учнів з життєвим шляхом давньогрецького вченого Піфагора Самоського, виховувати інтерес до математики.

Очікувані результати: Учні глибоко засвоять теорему Піфагора, зацікавляться історією математики, ознайомляться з життям і діяльністю Піфагора, вдосконалять навички роботи з комп’ютером, навчаться працювати з різними джерелами інформації.

Учні об’єднуються за інтересами , які займаються дослідженням свого питання.

Історики-готують історичну довідку проекту.

Теоретики-готують теоретичний матеріал різних способів доведення теореми Піфагора.

Практики-застосування теореми Піфагора при розв`язуванні задач.

Для дослідження пропонується учням

ПАМ `ЯТКА.

Цінуй набуті знання.

Продемонструй грамотність.

Сприймай зацікавлено, вдумливо.

Не бійся помилок.

Повір у свої сили.

Оцініть свою діяльність балами.

1.1Легендою і джерелом дискусій Піфагор став уже в стародавні часи. У 306 р. до н.е. йому, як найрозумнішому з греків, поставили пам'ятник у римському форумі.

Народився Піфагор на о. Самосі, біля узбережжя Малої Азії. Його батько Мнесарх із знатного, але збіднілого роду, був каменерізом. Як і інші великі греки, Піфагор здійснив традиційну подорож до Єгипту, де жив близько 22 років і витримав немало випробувань, перш ніж жерці Мемфіса і Діосполіса відкрили йому «дивовижне чергування чисел, хитромудрі правила геометрії, науку про зорі, медицину». До вавилонських магів і халдеїв він потрапив проти своєї волі — як полонений перського царя Кам буза, який завоював на той час Єгипет. Там мандрівник прожив 12 років і вивчив у халдеїв релігійні таїнства та математику. Переказують, що він побував і в Індії, де спілкувався з брахманами, від яких засвоїв не тільки філософію, зокрема вчення про переселення душ, а й секрети вправ для тіла.

Повернувшись у Грецію, Піфагор оселився на півдні італійського півострова в полісі Кротоні. Його появі передували чутки про зроблені ним чудеса, а його виступи перед кротонцями були першими кроками на шляху досягнення моральної і політичної влади

Незабаром навколо Піфагора згуртувалися однодумці, організувавши аристократичний за духом, таємний релігійно-політичний союз — гетерію. Незабаром і в інших полісах південної Італії та Греції виникли піфагорійські гетерії, в яких поряд із науковими проблемами — математичними, філософськими, етичними — розглядалися релігійні й політичні.

Піфагорійське вчення — окремий випадок формування філософії, в якій міфологічні погляди під впливом математики еволюціонували в наукові.

Сам Піфагор — постать суперечлива. Він у самому епіцентрі болісного народження філософської думки.

1.2Перекази про те, як Піфагор, зважуючи ковальські молоти, виявив, коли під час ударів вони звучали в консонансі, експерименти з різнонатягнутими струнами, монохордами й іншими музичними інструментами — все це, мабуть, історичні анекдоти, хоча

певні фізичні досліди, очевидно, були поставлені, Піфагорійці, безперечно, узагальнювали спостереження за явищами навколишньої дійсності, коли відкривали або й здогадувалися про унікальну роль числа, але цю роль трактували в магічно-міфологічному контексті. Про це свідчать висловлення піфагорійців про числа: «Що божество— Одиниця! Тільки через співвідношення чисел можна пізнати істину. Усі речі — числа», «Де немає числа і міри — там хаос і химери», «Наймудріше — це число», «Числа керують світом». Список афоризмів, багато з яких приписують Піфагорові, можна продовжувати й далі, і є своя логіка в тому, що піфагорійці не зупинилися на тлумаченні чисел, як програмістів усього, що відбувається в світі, а оголосили їх своєрідною прама-терією. Останній термін, особливо популярний у наш час, Піфагор використав, щоб наголосити на структурній організованості, упорядкованості. Симетричності навколишнього світу.

Сам Піфагор віддав належне здоровому тілу і брав участь у кулачному бою на 58-й Олімпіаді, яка проходила в 548 р. до н.е. ■, Переказують, що через малий зріст Піфагора судді не хотіли

допустити його до змагань.

— Можливо, — заперечив Піфагор, — мій вигляд у вас довіри, але я

буду наносити удари з такою математичною точністю, що супротивникові стане жарко. Моя глибока віра в число — це моє життєве кредо. І він додержав свого слова — став чемпіоном із цього виду спорту і утримував цей титул ще на кількох олімпіадах. Першим уболівальником, який, за свідченням літописців, помер на трибуні Олімпійського стадіону, був один із семи живих чудес Стародавнього світу Фалес Мілетський. Філософ, який учив, що все пішло з води і складається з неї, помер від спеки і спраги на олімпіаді, яка стала для Піфагора спортивним тріумфом. Можливо, він помер саме під час бою Піфагора, за якого дуже хвилювався.

Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжини.

Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальнив його.

Піфагор геометрично довів, що суми послідовних непарних чисел, починаючи з одиниці, є точними квадратами.

За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі
1.3 На березі теплої Тарентської затоки стояв невеликий затишний будинок. Мешканці грецького містечка Кротона вважали цей відлюдний будинок дивним і таємничим. Можливо, вони не замислювалися над тим, чому він здається їм таким незвичайним, але намагалися біля нього не затримуватися.

Біля ґанку цього будинку з полегшенням знімали торбини мандрівники. Були це здебільшого молоді люди, і йшли вони здалеку — одяг у пилюці, сандалі стоптані, обличчя стомлені. Юнаки підходили до будинку вранці, коли вода в затоці ще спала; і опівдні, коли величезна кількість рибацьких човнів скаламучувала тиху гладінь затоки; і в прохолодний сутінковий час; і пізнього вечора.

Іноді вони відразу зникали за скрипучими дверима, інколи довго переминалися з ноги на ногу, не наважуючись увійти, і стривожено оглядалися...

Проте ніхто з мешканців містечка не пам'ятав випадку, щоб хто-небудь з чужинців звернувся до старожилів із розпитуваннями. І ніхто не пам'ятав випадку, щоб юнаки розмовляли між собою... Це теж було дивно і надавало будинку ще більшої таємничості.

У цьому будинку жив Піфагор — учений, мудрець і дивак. Тут він створив школу, яка перетворилася у філософсько-політичне таємне товариство. Греки вважали за честь навчатися в Піфагора математики. А втім, люди навчаються в нього математики й досі. Його ім'я знає кожний школяр.

Коли Піфагор викладав своїм учням, він вимагав від них виконання важкої умови — брав у свою школу тільки тих, хто міг до вступу зберігати мовчання протягом п'яти років. І, незважаючи на незвичайний і жорстокий іспит, багато хто прагнув потрапити до цієї школи.

Ось чому біля будинку мудреця будь-якої пори року можна було зустріти юнаків, які прийшли здалеку. Ось чому ніхто з мешканців містечка не чув їхніх голосів.

...Чому ж так діяв давньогрецький учитель математики? Піфагор вірив: щоб пізнати суть, міру і зв'язок явищ, треба погасити в собі суєтність. Треба збудити інтуїцію — чарівну і незрозумілу властивість, яка мимоволі допомагає людині збагнути загадковий механізм, що керує життям Всесвіту.

1.4Піфагор був переконаний, що тільки в стані напруженої зосередженості можна сподіватися зрозуміти таємницю сущого...

Тепер ми знаємо, що багато математиків досягли величезних успіхів, не ховаючись від людей...

Можливо, Піфагор був надто жорстокий до своїх учнів; тепер уже ніхто не стає математиком такою дорогою ціною. Може, у своїй безмежній відданості науці він перегинав палицю, на роки позбавляючи молодих людей звичайних життєвих радощів. Але те, що дали людству Піфагор та його учні, — безсмертне. Те, що узнали вони про світ, служить нам і донині.
Емблемою союзу і розпізнавальним знаком піфагорійців була пентаграма -правильний п'ятикутник. Піфагор вважав пентаграму незвичайною фігурою і дарував її зображення тільки друзям як символ дружби. Діагоналі п'ятикутника утворюють зірку, яку піфагорійці вважали символом здоров'я. Користуючись цією фігурою, вони впізнавали один одного. За переказами, один піфагорієць тяжко захворів на чужині і не зміг перед смертю розрахуватися з чоловіком, який його доглядав. Він запропонував господареві на стіні будинку намалювати зірчастий п'ятикутник. Через кілька років інший піфагорієць, який подорожував цією місцевістю, побачив п'ятикутник, дізнався у господаря про те, що трапилося, і щедро його нагородив. Піфагор був і маестро формул, і людинознавець. Вчений довгий час жив у племені піагонів. Знання, які він отримав там, і досі викликають подив. Таблиці Піфагора містять цікаві відомості про людей. Виявляється, сутність людини проглядається у даті народження, від нас залежить лише, чи зуміємо реалізувати те, чим обдаровані природою, чи зуміємо перебороти несприятливі обставини.

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Його вислови актуальні і в наш час.

Роби лише те, що в результаті не засмутить тебе і не примусить каятися.

Не роби ніколи того, чого ти не знаєш. Але навчися усього, що варто знати, і тоді будеш вести спокійне життя.

• Не зневажай здоров'ям свого тіла. Доставляй йому вчасно їжу і питво, і вправи, без яких воно бідує.

Привчайся жити просто, без розкоші.

Не закривай очей, коли хочеться спати, не проаналізувавши успіх своїх вчинків за минулий день.

Не порушуй справедливість.

Не сідай на подушку (тобто не зупиняйся на досягнутому).

Не гризи свого серця (тобто не піддавайся меланхолії).

Не поправляй вогню мечем (тобто не дратуй тих, хто і без того в гніві).

Не приймай під свій дах балакунів і легковажних людей

Усе впорядковується відповідно до чисел.

Лише не благородна людина здатна в очі хвалити, а поза очі злословити.

Тимчасова невдача краще тимчасової удачі.

Твори велике, не обіцяючи великого.

Живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали друзями.

2.1 З ім'ям Піфагора насамперед асоціюється відома теорема.


Німецький поет Г. Вебер у своєму творі писав:

Ввів інший поет вже цю тему

В свій вірш, - але як мені буть?

Прадавню одну теорему

Не можу ніяк я забуть.

Стояв там трикутник як ментор,

И один кут прямий в ньому був,

І саме ось цим елементом

Він славу й визнання здобув.

Вродливиці гіпотенузі,

Що стрімко здіймалася ввись,

Два катети, вірнії друзі,

В любові до смерті клялись.

Та їхні обійми їй тісні,

То ж пісню співає вона,

Й геометрам всім у цій пісні

Втіх більше, аніж від вина.

Хто зовсім ще глузду не втратив,

Не може забути про це,

Що сума для айв квадратів

Квадратові рівна для сі

Ця пісня й холодній медузі

Тепла і жаги додала.

Вже лиш за це гіпотенузі

И двом катетам честь і хвала!

Теорема Піфагора має народні назви. У Франції і деяких областях Німеччини в середні віки її називали «ослиним мостом», тому що доведення теореми було величезною перешкодою, так званим мостом, перейти який могли тільки розумні учні.

У математиків арабського Сходу ця теорема одержала назву «теореми нареченої». Справа в тому, що в деяких списках «Начал» Евкліда ця теорема називалася «теоремою німфи» за подібність креслення з метеликом, що грецькою звався німфою. Але цим словом греки називали деяких богинь, а також наречених. При перекладі арабський перекладач, не звернувши уваги на креслення, переклав слово «німфа» як «наречена», а не «метелик».

А відома всім школярам назва «Піфагорові штани» виникла через схожість креслення до Евклідового доведення теореми зі штанами.

Частівка Гіпотенузи і Братів-катетів

Ось - де я

Я, весела Гіпотенуза,

А ми, Брати-катети,

Заспіваємо частівки

Вам про математику.

Вирішили ми завзято

Геометрію вивчать,

Зараз скажемо відверто:

Не будем байдикувать.

Теорема Піфагора -

Всюди вона з нами:

Чи будинок ми будуєм.

Чи пливем морями.

Любі числа, теореми.

Формули чудові!

Ви професій гарних й різних -

Друзі та основа.

Піфагоре, грецький вчений!

Ти довів нам теорему.

Тепер мусимо її

Ми доводити самі.

Теорема, теорема ,

Ти звучиш, немов поема.

Ну а я. Гіпотенуза,

Є для Катетів, як муза.

2.3 Давайте познайомимося зі школою, в якій було доведено теорему Піфагора, а також встановлено, що існують відрізки, які, як писав Арістотель у своїй «Метафізиці», «не можна виміряти найменшою мірою».

Піфагора вважають головою першої математичної школи. Філософ і математик Піфагор — видатний представник еллінської культури. За переказами, він народився близько 580 р. до н.е., одержав добру освіту, основою якої були музика, поезія та далекі романтичні подорожі — до Єгипту, Вавилона і, ймовірно, до Індії. Точних історичних даних про життя Піфагора не збереглося. Ще в стародавні часи він став напівлегендарною особою. Відомості про його життя і діяльність дійшли до нас у спогадах і коментарях до наукових праць авторів пізнішого часу — Арістотеля, Платона та ін.

Піфагор та його однодумці організували аристократичний за духом таємний релігійно-політичний союз — гетерію. Такі гетерії згодом виникли в різних районах південної Італії та Греції. У них поряд з математичними, філософськими, етичними проблемами розглядалися релігійні й політичні. Члени союзу зобов'язувалися передати йому особисту власність, не проливати крові, не навчати інших за винагороду, суворо берегти таємниці вчення свого вчителя тощо.

Піфагорійський союз складався з акусматиків і математиків. Перші лише слухали загальні істини і не бачили самого вчителя. Другі, пройшовши випробування мовчанням, діставали право висловлюватися, засвоювати та розвивати наукові й філософські погляди Піфагора.

З усіх наук піфагорійці віддавали перевагу математиці. Піфагор був першим, хто стверджував раціональний устрій світу і намагався описувати його за допомогою чисел. Найважливішою заслугою школи Піфагора є створення математики як теоретичної, дедуктивної науки. Саме піфагорійці започаткували систематичне застосування наукової гіпотези і дедуктивного доведення. Саме вони одержали значні математичні результати не шляхом вимірювання, а шляхом логічного виведення одних тверджень з інших і встановлювали їх у загальному вигляді. І, нарешті, тільки завдяки дедуктивному методу піфагорійці зробили своє справді блискуче відкриття про існування несумірних відрізків (вимірюванням це взагалі встановити не можна). Це відкриття поставило перед математикою проблему, яка чекала свого повного розв'язання майже 2500 років.

Проте слід зазначити, що піфагорійці вносили в математику містичне забарвлення. Це пояснюється філософськими поглядами їхнього учителя, згідно з якими числа є містичною сутністю всіх речей і явиш, зумовлюють їх властивості, керують світом, встановлюють у ньому гармонію і певний порядок, є його основою, своєрідною праматерією. Першоджерелом усього вважалися натуральні числа. Можливо, до такого висновку піфагорійців спонукали і досягнення в музиці. За переказами, Піфагор встановив, що коли довжина струни зменшується удвічі, тон підвищується на октаву, тобто висота тону обернено пропорційна до довжини струни. Три струни дають гармонійне поєднання звуків, якщо їх довжини відносяться як 6 : 4 : 0. Це відкриття стимулювало пошуки аналогічних співвідношень в інших галузях пізнання, наприклад у геометрії і астрономії.

Учення про число, вивчення властивостей натуральних чисел та відношень між ними займало центральне місце у піфагорійській математиці. І якщо відсіяти притаманну піфагорійцям числову містику, то виявиться, що вони не тільки ввели багато фундаментальних теоретико-числових понять і дослідили глибинні властивості чисел, а й поставили в галузі теорії чисел низку математичних проблем, деякі з яких і досі чекають свого розв'язання.
2.4 У геометрії піфагорійці вивчали співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, який вони вважали однією з найкращих і найдосконаліших фігур. Це співвідношення ми знаємо як теорему Піфагора, хоча його знали і використовували ще шумеро-вавилонські математики за 1200—1500 рр. до Піфагора. Імовірно, що Піфагор відкрив не саму теорему, а її доведення. Відомо чимало красивих доведень теореми, в тому числі й на основі розрізування та перекроювання фігур. Американський любитель математики Е.Луміс зібрав і опублікував 367 різних доведень цієї теореми. Ця колекція поповнюється й нині.

Особливою пошаною в піфагорійців користувалися прямокутні трикутники, довжини сторін яких є цілими числами. Найпростіший з таких трикутників — так званий єгипетський трикутник зі сторонами 3,4, 5. Вважають, що в школі Піфагора був знайдений метод одержання нескінченного ряду «піфагорових чисел», тобто трійок натуральних чисел, які задовольняють співвідношення а2 + Ь2 = с2: а = тп, 2Ь = т2 - п2 , 2с = т2 + п2 .

Можна припустити, що вивчення властивостей прямокутних трикутників привело піфагорійців до їх найвизначнішого відкриття — існування несумірних відрізків. Шукаючи спільну міру між стороною і діагоналлю квадрата, вони виявили, що ці відрізки спільної міри не мають, тобто не існує ні натурального числа, ні відношення натуральних чисел, яке б виражало відношення цих відрізків. Це означало, що яким би малим не був відрізок, він не зможе ПОМІСТИТИСЯ ціле число разів і на стороні, і на діагоналі квадрата. Отже, ці відрізки не можна виміряти.

Доведення піфагорійцями несумірності сторони і діагоналі квадрата — перше, відоме в історії математики, доведення від супротивного. У роботі «Перша аналітика» Арістотель писав, що коли припустити, що діагональ і сторона квадрата сумірні, то парне число дорівнювало б непарному. Це доведення наведене наприкінці X книги «Начал» Евкліда. Воно спирається на теорему Піфагора і властивості подільності натуральних чисел, теорія якої була розроблена в школі Піфагора.

Справді, припустимо, що сторона і діагональ квадрата сумірні, тобто існує такий відрізок (візьмемо його за одиничний), який відкладається на стороні т разів, а на діагоналі — п разів, т, п є N .

Тоді за теоремою Піфагора т2 + т2 = л2, звідки



Або 2т2 = п2, (1)

Вважатимемо, що дріб т нескоротний (інакше його можна скоротити).

З рівності (1) випливає, що п2парне число, отже, парним є і п (бо квадрат непарного числа — непарне число), тобто п = 2к , к є N

Підставляючи це значення п у рівність (1), одержимо:



2 = 4к2, т2 = 2к2. Звідси робимо висновок, що і число т — парне.

Отже, дріб — можна скоротити на т 2, що суперечить припущенню про нескоротність цього дробу .

Припущення, що сторона і діагональ квадрата мають спільну міру, призвело до хибного наслідку. Отже, ці відрізки несумірні.

Зауважимо, по до суперечності під час доведення приводить і припущення про існування дробу, квадрат якого дорівнює

2: (= 2 . Отже, ми довели і те, що не існує такого раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2.

Відкриття несумірності відрізків приголомшило піфагорійців, бо суперечило суті їхньої філософії. Воно завдало нищівного удару по піфагорійських поглядах на натуральне число як основу всього, що існує. Виявилося, що число не всесильне, коли навіть відношення двох відрізків, які легко побудувати, не вдається виразити ніяким додатним раціональним числом (а тільки такі числа і знали на той час учені). Пояснити це Піфагор та його учні не могли і прагнули приховати своє відкриття. Збереглася легенда, що один з піфагорійців, Гіппас, насмілився розголосити таємницю. Покараний богами за зраду, він загинув у морі під час бурі. Та ще за життя Гіппас був підданий найвищій мірі осуду — символічному похованню, тобто він ніби помер для піфагорійців.

Шукаючи виходу зі становища, в якому опинилася математика в результаті цього відкриття, піфагорійці пішли шляхом геометризації математики. Підставою для цього було те, що хоча несумірні відрізки (наприклад, сторону і діагональ квадрата) не можна виразити раціональними числами, їх можна побудувати циркулем і лінійкою. Тому у своїх дослідженнях піфагорійці перейшли від обчислень до побудов, від чисел до фігур. Мовою математики того часу стала геометрія. Як наслідок виникла геометрична алгебра, яка давала можливість на основі використання наочних геометричних образів розв'язувати алгебраїчні та арифметичні задачі. Алгебраїчні тотожності записували за допомогою співвідношень між геометричними фігурами.


а2

Ab

ab

Ь2

Малюнок 1 ілюструє тотожність (а + b)2 2 + 2аЬ + Ь2. Задачу розв'язання

рівняння х2 = ab формулювали так: перетворити даний прямокутник зі сторонами а і b у рівновеликий квадрат (мал. 2).



А2

ab

ab

B2







Значення відкриття несумірних відрізків по-справжньому оцінили тільки математики кінця XIX — початку XX ст., коли було закладено основи сучасної теорії дійсних чисел

Піфагор навіть не підозрював, що придуманий ним прилад стане музичним інструментом. Правда, зовні він буде трохи змінений: ящик стане плоским і його зроблять таким, щоб під час гри було зручно тримати на колінах. Дерево для виготовлення цього ящика стали вибирати, прагнучи досягнути чіткості та краси звуку. І що найголовніше поступово збільшувалася кількість струн — їх стало дві, потім три, а далі — чотири .У різних народів цей багатострунний інструмент отримав різні назви: у росіян — гуслі , у вірмен — канон у карелів — кантем.

А до одного з таких ящиків пристосували клавіатуру. І тому клавесин і Піфагор ф0рТЄПіаНо певною мірою також винахід Піфагора. Але звукоряд Піфагора був недосконалим. Досконалим він став завдяки математичним розрахункам Андреаса Веркмейстера — знаменитого органіста і теоретика музики. Якщо подивитися на клавіатуру фортепіано, можна помітити, що вона розділена на сім частин (октав), у кожній з яких сім білих і п'ять чорних клавіш. Це зараз нам здається, що інакше і бути не може. Але свого часу відкриття А. Веркмейстера було революцією в музиці. Аналізуючи це відкриття, І.С.Бах і Г.Ф.Гендель (перші зірки музичної історії Європи) висловили іншу точку зору. Г.Ф.Гендель запропонував ускладнення звукового ряду і розрахував звукоряд так, щоб, крім традиційних дванадцяти клавіш, в октаві з'явилися ще й допоміжні. Й.С.Бах його підтримав, але згодом він першим із найвидатніших композиторів і музикантів визнає звукоряд А. Веркмейстера (зараз його називають рівномірною темперацією) та пише твір «Добре темперований клавір», у якому містилося дванадцять прелюдій і фуг для кожної октави. Це було свого роду визнанням геніальності ідеї А. Веркмейстера.

Композиція і теорія музики немислимі без математики. Це підтверджується ще й послідовністю інтервалів та їх обернень, що ґрунтуються на закономірностях арифметичної та геометричної прогресій. Математичне пояснення основ гармонії в музиці належить Піфагору. За допомогою своєї теорії досконалості малих чисел, він визначив суть гармонії так: найбільш природно сприймаються вухом людини ті частоти, які знаходяться між собою в простих числових відношеннях.

2.5 На плакаті зображено прямокутний трикутник. Я запитую : «Як називаються відрізки (сторони)АС і ВС у прямокутному трикутнику АСВ з прямим кутом С?»

Відповідають: «Катети». Потім пояснюю, що катети охороняють дракони. Щоб їх перемогти, треба правильно знайти косинуси гострих кутів А і В. Далі запитую: «Від чого залежить значення косинуса гострого кута в прямокутному трикутнику?» Після цього пропоную учням з'ясувати, скільком прямокутним трикутникам належать гострий кут А і гострий кут В. Учні помічають, що кожний гострий кут належить двом прямокутним трикутникам. Тому косинуси гострих кутів А і В можна знайти двома способами з двох прямокутних трикутників. Я показую на малюнку кути А і В та трикутники, яким вони належать.

Пропоную знайти косинуси гострих кутів А і В з двох прямокутних трикутників. Малюнок трикутника на дошці та в зошитах учнів один і той самий. Після відповідей учнів з місця, чому дорівнюють косинуси кутів А і В з кожного прямокутного трикутника, біля малюнка виконую записи:

cosA= ; cosВ=

cosA= cosB=

працюють самостійно, але звіряють свої записи із записами на дошці. Тепер ставлю учням запитання: «Чи будуть відношення,які виражають косинуси відповідних гострих кутів прямокутних трикутників, рівні між собою?» Пригадуємо: основну властивість пропорції, «пропорція». Запишіть рівність відношень. Сторона АС і ВС – це катети. Ми знайшли квадрати катетів.

Під час знаходження суми катетів записи на дошці роблю , а учні самостійно знаходять спільний множник і виносять його за дужки.

ВС2=АВ* BD

+

АС2= AD* АВ

ВС2+АС2 = АВ *BD + AD *АВ = AB*(BD + AD) = AB АВ =AB2

ВС2 + АС 1 =АВ2.

Останній запис підкреслюю.

Тепер у формі діалогу зробимо висновок, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.



  • Що ми додали?

  • Квадрати катетів.

  • Що ми отримали?

  • Квадрат гіпотенузи.

— Чому дорівнює сума квадратів катетів?

— Квадрату гіпотенузи.

Далі пропоную прочитати запис:

АВ2=АС2+ВС2 ■ Щоб попередити помилку, ставлю запитання: «Чому дорівнює квадрат гіпотенузи?»

Так під моїм керівництвом приходимо до формулювання теореми Піфагора.

Тепер я пропоную зробити висновок із запису:

АВ2 = АС2 +ВС2. Ставлю їм запитання: «Чому дорівнює квадрат гіпотенузи?» Відповідь: «Сумі квадратів катетів». Далі запитую учнів: «Яка теорема говорить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів?» Відповідь: «Теорема Піфагора». Тепер пропоную разом сформулювати Теорему Піфагора.

3.1 Відомо 300 найрізноманітніших доведень знаменитої теореми. Крім підручника ми знайшли й інші спроби доведення.

Так ,індійський математик Бхаскара 11 подав його у формі креслення, під яким було написане одне слово « ДИВИСЬ»,

Після вивчення деяких певних геометричних тем, ми зможемо опанувати і їх.

Можна використати для доведення теореми Піфагора : основні тригонометричні тотожності;

площа трапеції ,трикутника ; площа координат; векторний метод ;геометричні доведення ; подібність трикутників і т . д.

3.2 ЗАДАЧА № 1

Знайти довжину приставленої балки до будинку, якщо кінець знаходиться на відстані 3 м від будинку, а верхній -

на стику стіни й даху. Висота стіни будинку дорівнює 4 м.

Дано: трик. ABC, кут С = 90 , AC = 3 м, ВС = 4 м.

Знайти: АВ.

Розв'язування:

АВ - гіпотенуза для трикутника ABC. За теоремою Піфагора АС2 + ВС2=

=АВ2 = 32+42 =9 + 16 = 25.

АВ = 5 (м)

Відповідь: 5 м

Задача 2

Висота новорічної ялинки 8 м. Для закріплення її у вертикальному положенні від вершини ялинки зробили натяжки АВ, АВі, АВг однакової довжини і закріпили їх на підлозі на відстані 6 м від основи ялинки. Якої довжини повинна бути натягуючи проволока, щоб ялинка стояла вертикально. (АВ = 10 (м)).

3.3 Задача 3

На березі річки росла тополя висотою 15 м. Буря зламала дерево на висоті 6 м від землі так, що вершина вперлась в інший берег. Знайдіть ширину річки, якщо вважати, що стовбур тополі впав перпендикулярно до течії струмка.

Задача 4

Висота двох вертикальних стовпів дорівнюють 5 м і 12,5 м. Відстань між ними 10 м. Знайти найменшу довжину троса, яким можна з'єднати верхні кінці стовпів.

3.4. Піфагор - один із найбільш знаменитих учених за всю історію людства. Він був не лише вченим і засновником першої наукової школи. Ця унікальна людина була і «володарем дум», і проповідником власної «піфагорійської» етики, і великим філософом. Піфагор виховав у людства віру в могутність розуму, переконаність у можливості пізнання природи, впевненість у тому, що ключем до таємниць світопобудови є математика.

Приймають участь всі учні , виконуючи завдання за комп`ютером « Хто швидше.»

1.Розкладіть ці трикутники у порядку зростання їх гіпотенузи, якщо їх катети будуть:


  1. 6 м і 1 м; С) 2 м і 5 м;

  2. 3 м і 4 м; Д) 3 м і 5 м.

Правильна відповідь: В), С), Д), А).

2. Хто був автором теореми: «У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи»?



  1. Незнайко; С) Піфагор;

  2. Декарт; Д) Дарвін.

Правильна відповідь: С) Піфагор.

3. В якому трикутнику висота є одночасно і стороною?



  1. гострокутному; Б) рівносторонньому; Д) прямокутному.

  2. тупокутному;

4. Який із цих виразів є наслідком із теореми Піфагора?

  1. с2 = а2 + Ь2; В) h2 =acbc ; С) а2 = с2 + Ь2;

Правильна відповідь: В

5. Сторони прямокутника 6м і 8м. Яка довжина його діагоналі?



  1. 5 м; С) 15 м;

  2. 10 м; Д) 20 м.

Правильна відповідь: В) 10 м.

6. Діагональ квадрата 1м. Яка площа цього квадрата?



  1. 1 м2; С) 3 м2;

  2. 2 м2; Д) 0,5 м2.

Правильна відповідь: А)

7. Периметр квадрата 20см. Знайти діагональ квадрата.



  1. 5 см; С) 52 см;

  2. 6 см; Д) 4 см

Правильна відповідь: С) 52 см.

8. Катети прямокутного трикутника 6м і 8м.Знайти довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.



  1. 10 м; С) 6 м;

  2. 5 м; Д) 20.

Правильна відповідь: В) 5 м.

9. Розкладіть прізвища цих вчених у порядку їх діяльності, починаючи з найстаршого:



  1. Декарт; С) Піфагор;

  2. Погорелов; Д) Евклід.

Правильна відповідь: С), Д), А), В).

Підведення підсумку уроку.



  1. Оцінка групи.

  2. Самооцінка.

  3. Оцінка вчителя.

  4. Кількість набраних балів.

Поставте «+» чи «-« на карточці для діагностики.

Рефлексія.

1.Чи варто вивчати теорему Піфагора.?

2.Робота якої групи Вам сподобалася і чому ?

3.Що вдалося і чому ?

4.А чи були Ви толерантними.?

Отримали домашнє завдання.

До побачення, до побачення

Піфагору говорим : «Прощай.»

А знання знадобляться, звичайно



Так і знай, так і знай.

Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка