5. Нескінченні множини Рекомендована література: [4, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17]. Загальні властивості нескінченних множин



Дата конвертації25.06.2019
Розмір29 Kb.

5. Нескінченні множини


Рекомендована література: [4, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17].

5.1. Загальні властивості нескінченних множин


5.1. Довести, що з будь-якої нескінченної множини можна виділити зліченну підмножину.

5.2. Довести, що множина нескінченна тоді й тільки тоді, коли вона рівнопотужна деякій своїй власній підмножині.

5.3. Нехай функція має зліченну область визначення. Довести, що її область значень скінченна або зліченна.

5.4. Довести, що непорожня множина A є скінченною або зліченною тоді й тільки тоді, коли вона є областю значень деякої функції з N у A.

5.5. Довести, що якщо зі зліченної множини вилучити скінченну підмножину, то залишиться зліченна підмножина.

5.6. Довести, що:



  1. якщо A нескінченна, Bскінченна або зліченна, то ABA;

  2. якщо A нескінченна і незліченна, B – скінченна або зліченна, то A\BA.

5.2. Зліченні множини


5.7. Довести:

  1. множина простих чисел зліченна;

  2. якщо A і B зліченні, то AB зліченна;

  3. якщо всі Ai, де iN, скінченні, непорожні й попарно не перетинаються, то зліченне;

  4. якщо всі Ai, де iN, зліченні, то зліченне;

  5. якщо A1, A2, …, An, де n1, зліченні, то A1A2…An – зліченна;

  6. множина цілих чисел зліченна;

  7. множина раціональних чисел зліченна;

  8. множина послідовностей натуральних чисел довжини k, тобто Nk, є зліченною;

  9. всіх k-елементних підмножин множини N, де kN;

  10. множина всіх скінченних послідовностей цифр 0, 1, 2, …, 9 зліченна;

  11. множина всіх скінченних послідовностей, складених з елементів деякої зліченної множини, є зліченною множиною;

  12. множина всіх скінченних підмножин множини N зліченна;

  13. множина всіх підмножин множини N, що мають скінченне доповнення, зліченна;

  14. множина всіх монотонно неспадних функцій з N у {0, 1, 2, 3} зліченна;

  15. множина всіх монотонно неспадних функцій з N у N зліченна;

  16. множина всіх монотонно неспадних функцій з N у Z зліченна;

  17. множина многочленів від однієї змінної з цілими коефіцієнтами зліченна;

  18. множина коренів многочленів від однієї змінної з цілими коефіцієнтами, тобто множина алгебраїчних чисел, є зліченною;

  19. довільна множина відкритих інтервалів на дійсній прямій, що не перетинаються, є скінченною або зліченною;

  20. множина дійсних чисел, таких, що існує >0 і будь-які різні x і y з A задовольняють |x-y|>, є зліченною;

  21. множина точок розриву монотонної функції на дійсній осі є скінченною або зліченною;

5.8. Нехай A – зліченна множина точок на дійсній прямій. Чи можна вибрати a так, що {x+a| xA}A=?

5.3. Незліченні множини


5.9. Довести, що рівнопотужними є:

  1. (0, 1) і R;

  2. (0, 1] і (0, 1);

  3. [0, 1) і [0, 1];

  4. [a, b] і [c, d];

  5. множини точок відрізка [0, 1] і квадрата [0, 1][0, 1];

  6. множини точок квадрата [0, 1][0, 1] і площини R2;

  7. множини точок площини R2 і простору R3.

5.10. Довести, що континуальною множина:

  1. всіх зліченних послідовностей з 0 і 1;

  2. всіх підмножин множини N;

  3. , де всі Ai, iN, континуальні;

  4. A1A2…An, де A1, A2, …, Anконтинуальні множини;

  5. , де всі Ai – континуальні множини;

  6. всіх зліченних послідовностей дійсних чисел;

  7. всіх немонотонних функцій з N у Z;

  8. всіх немонотонних функцій з N у {0, 1, 2, 3};

  9. всіх нескінченних підмножин множини N, що мають нескінченне доповнення;

  10. всіх скінченних підмножин множини (0, 1);

  11. всіх функцій f з N у {0, 1}, таких, що f(x)=0 при простому x, f(x) довільне при складеному x.


Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка