3. Класичне і геометричне означення ймовірності



Сторінка1/8
Дата конвертації23.10.2018
Розмір0.5 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8
  1. 3.Класичне і геометричне означення ймовірності


Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій ?: P(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0 mn) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

(0 mn) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)! Геометричне означення ймовірності. Якщо простір елементарних подій ? можна подати у вигляді деякого геометричного предмета, а множину елементарних подій для подій А – як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин P(A)=?(A)/?(?).При цьому вважається, що попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n. Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або відносною частотою, події.

  1. 4.Алгебра подій


Система подій називається алгеброю подій, якщо:



  1. із того, що , випливає, що: , ,

Числова функція P, що визначена на системі подій ?, називається ймовірністю, якщо:

  1. ? є алгеброю подій;

  2. для будь-якого A? ? існує P(A)?0;

  3. P(?)=1;

  4. якщо А і В є несумісними (А?В)=?, то P(A?B)=P(A)+P(B);

  5. для будь-якої спадної послідовності подій із ?, такої, що

випливає рівність

?,
Трійка (?????), де ? є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.


  1. 5.Теоремадодавання ймовірностей двох несумісних подій

  2. 6.Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність


Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними

Умовна ймовірність та її властивості.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B)0. Властивості умовної ймовірності:

P(A/B)=0, якщо ???=?



  1. P(A/B)=1, якщо ???=B

  2. у решті випадків 0
  1. 7.Теорема множення ймовірностей двох незалежних подій. Наслідок

  2. 8.Ймовірність появи хоча б однієї події

  3. 9.Теорема множення ймовірностей двох залежних подій. Наслідок

  4. 10.Теорема додавання ймовірностей двох сумісних подій

  5. 11.Формула повної ймовірності


Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

  1. 12.Формула Баєса


Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:




  1. Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8


База даних захищена авторським правом ©wishenko.org 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка